Enunciado

Avalie a integral.

int_0^(pi) cos^6 theta d theta

Passo 1

Para resolver esse probleminha é bem fácil! Só aplicarmos uma substituição trigonométrica. Vamos primeiro organizar a integral:

int_0^(pi) [cos^2 theta]^3 d theta

Podemos tornar o seno aplicando sin^2 x + cos^2 x = 1 , da seguinte forma:

int [(1)/(2) (1 + cos 2 theta)]^3 d theta

Agora ta bom demais!!

Passo 2

Calculando o produto notável da integral, fica assim:

int_0^(pi) (1)/(8) ( 1 - 3 cos 2 theta + 3 cos^2 2 theta + cos^3 2 theta ) d theta

Agora podemos resolver!!

int_0^(pi) cos^6 theta d theta = (1)/(8) [ theta - (3)/(2) sin 2 theta ]_0^(pi) + (1)/(8) int_0^(pi) (3)/(2) ( 1 + cos 4 theta ) d theta + (1)/(8) int_0^(pi) (1 - sin^2 2 theta) cos 2 theta d theta

int_0^(pi) cos^6 theta d theta = (1)/(8) pi + (3)/(16) [theta + (1)/(4) sin 4 theta]_0^(pi) + (1)/(8) int_0^(pi) (1 - sin^2 2 theta) cos 2 theta d theta

Temos que fazer uma substituiçãozinha, logo:

u = sin theta d u = 2 cos 2 theta d theta

Lembrando de mudar os intervalos também hein!!

Então vamos ter,

int_0^(pi) cos^6 theta d theta = (1)/(8) pi + (3)/(16) [theta + (1)/(4) sin 4 theta]_0^(pi) + (1)/(8) int_0^0 (1 - u^2) (1)/(2) d u

int_0^(pi) cos^6 theta d theta = (1)/(8) pi + (3)/(16) [pi + (1)/(4) sin 4 pi - (0 + (1)/(4) sin 4 xx 0)] + 0

int_0^(pi) cos^6 theta d theta = (1)/(8) pi + (3)/(16) pi + 0 = (5 pi)/(16)

Finishh!! :)

Resposta

int_0^(pi) cos^6 theta d theta = (5 pi)/(16)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 40 para ∫ tan ⁡ x sec n ⁡ x d x ,s en ≠ 0 .
Prove int cot x csc^n x d x = - (csc^n x)/(n) + C , s e n != 0 .
Prove int tan^n x d x = (tan^(n - 1) x)/(n - 1) - int tan^(n - 2) x d x , s e n for um inteiro positivo maior do que 1.
Prove:int c o s^n u d u = (1)/(n) c o s^(n - 1) u s e n u + (n - 1)/(n) int c o s^(n - 2) u d u
Ache o centroide da região descrita no Exercício 44.