Enunciado

Uma partícula se move ao longo da curva y = x . Quando a partícula passa pelo ponto ( 4,2 ) , sua coordenada x cresce a uma taxa de 3 cm/s. Quão rápido está variando a distância da partícula à origem nesse instante?

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos diz que uma partícula se move ao longo da seguinte curva:

y = x

O enunciado ainda nos diz que quando a partícula passa pelo ponto ( 4,2 ) , sua coordenada x cresce a uma taxa de 3 cm/s.

Queremos calcular o quão rápido está variando a distância da partícula à origem nesse instante.

Para isso, tems que saber que distância d da partícula em um ponto ( x , y ) à origem á dada por:

d = x 2 + y 2

Como na curva em questão é y = x então, a distância é:

d = x 2 + ( x ) 2 = x 2 + | x |

Já que estamos trabalhando em um ponto onde x é positivo, podemos tirar o módulo:

d = x 2 + x

Ou

d 2 = x 2 + x

A partir disso, basta derivarmos implicitamente e substituir pelos dados informados no enunciado!! 😉

Passo 2

Derivando implicitamente em função do tempo t , temos:

2 d × d ' t = 2 x × x ' t + x ' t ∴

d ' t = x ' t × 2 x + 1 2 d ∴

d ' t = x ' t × 2 x + 1 2 x 2 + x

Passo 3

Logo, no ponto ( 4,2 ) com x = 4 variando a uma taxa de x ' t = 3 cm/s, temos que d ' t é:

d ' t = 3 × 2 ( 4 ) + 1 2 4 2 + 4 ∴

d ' t = 27 5 20

Logo, a distância do ponto à origem nesse instante varia a uma taxa de 27 5 20 cm/s.

Resposta

A distância do ponto à origem nesse instante varia a uma taxa de 27 5 20 cm/s.

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