Enunciado

Um cocho tem 360   c m   de comprimento e seus extremos têm a forma de triângulos isósceles invertidos, com 90   c m de altura e 90   c m de base. Água está fluindo no cocho a uma taxa de 60   c m 3 / m i n . Com que velocidade estará se elevando o nível da água quando a profundidade for 30   c m ?

Passo 1

As vezes o enunciado deixa a gente confuso hahaha mas relaxa que vamos tirar de letra. Caso você não saiba o que é um cocho, saber pode ajudar! Um cocho é um recipiente em que comem ou bebem bois e outros animais. Ou seja, é isso aqui:

Beleza, agora que entendemos isso, vamos ver o cocho da nossa questão:

Então vamos partir daí pra modelar essa questão e resolver!

Passo 2

Bem galera, vamos imaginar que a água esteja a uma altura h em relação a ponta do triângulo invertido que é o extremo do cocho. Podemos representar o nível d’água assim:

Ok, mas como isso ajuda? Bem, veja só, quando adicionamos água no cocho, a água assume o mesmo formato do cocho. Portanto o volume de água pode ser calculado pela fórmula do volume de um prisma:

V a = A ▼   ∙ C c

Sendo V a o volume de água, A ▼   a área do triângulo que á agua faz e C c o comprimento do cocho. O volume fica então:

V a = l ∙ h 2 ∙ 360

V a = 180 ∙ l ∙ h

Opa, mas o volume depende de duas variáveis? Sim, mas não por muito tempo! Esse é o momento que a gente relaciona as variáveis. Como o enunciado relaciona a taxa de volume de água com a velocidade do o nível de água, a variável que a gente não precisa é o l ! Sendo assim, buscaremos:

l = l h

De forma que:

V a = V a l , h → V a = V a h

Bem, se olharmos bem pra imagem, vamos ver que o triângulo da extremidade do cocho e o da água são semelhantes! Portanto:

l 90 = h 90

l = h

E tá na mão:

V a h = 180 h 2

Passo 3

Show, agora que o conceito de taxa vai ser usado. Como uma taxa é nada mais nada menos que a derivada no tempo, derivamos V a :

d V a d t = d 180 h 2 d t = 180   d h 2 d t

Pela regra da cadeia:

d V a d t = 180   ∙ 2 ∙ h ∙ d h d t

Beeleeeeza! Saca só isso: a gente sabe, do enunciado, que em determinado instante t o qualquer a taxa de aumento do volume de água será:

d V a d t t = t o = 60

E que nesse mesmo instante, o nível de água será:

h t o = 30

A gente pode até não saber quem é t o , mas com essas duas informações achamos:

d V a d t t = t o = 180   ∙ 2 ∙ h t o ∙ d h d t t = t o

60 = 180   ∙ 2 ∙ 30 ∙ d h d t t = t o

d h d t t = t o = 60 180   ∙ 2 ∙ 30

d h d t t = t o = 1 180

E taí! Esse é o valor da taxa de variação da altura do nível de água no instante em que o nível é de 30   c m , ou como o enunciado disse, a velocidade de elevação do nível de água. Com as devidas unidades de medida, temos:

d h d t t = t o = 1 180   c m / m i n

Resposta

d h d t t = t o = 1 180   c m / m i n

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