Enunciado

O raio de um cone é sempre igual à metade de sua altura h . Determinar a taxa de variação da área da base em relação ao volume do cone.

Passo 1

Vamos para mais uma questão de taxa de variação, galerinha! Queremos achar a taxa de variação da área da base em relação ao volume do cone. Bem, vamos dar uma olhada no cone:

Como todo bom cone, seu volume é:

V = 1 3 ∙ A ∙ h

Vamos partir daqui, belezinha? Afinal, temos que rever a expressão de h pra equação acima só ser uma função da área da base ( A ) e do volume do cone ( V )! Ai sim poderemos derivar um em relação ao outro e achar a taxa de variação!

Passo 2

Bem pessoal, a base não é um círculo? Então a área da base vai ser:

A = π r 2

Nesse caso em específico, o enunciado disse pra gente que:

r = h 2

Portanto a área será:

A = π h 2 4

E a altura em função da área será:

π h 2 = 4 A

h 2 = 4 A π

h = 2 A π

Substituindo na expressão do volume:

V = 1 3 ∙ A ∙ h

V = 1 3 ∙ A ∙ 2 ∙ A π

Elevando os dois lados ao quadrado:

V 2 = 1 9 ∙ A 2 ∙ 4 ∙ A π

V 2 = 4 A 3 9 π

4 A 3 = 9 π V 2

A 3 = 9 π V 2 4

A = 9 π V 2 4 1 3

E pra achar a taxa de variação da área da base em relação ao volume do cone, basta derivar em relação a V ! Partiu!

Passo 3

Sendo:

A = 9 π V 2 4 1 3

Usando regra da cadeia, temos:

d A d V = d 9 π V 2 4 1 3 d V

d A d V = 1 3 ∙ 9 π V 2 4 1 3 - 1 ∙ d 9 π V 2 4 d V

d A d V = 1 3 ∙ 9 π V 2 4 1 3 - 3 3 ∙ 2 ∙ 9 π V 4 ∙ d V d V

d A d V = 1 3 ∙ 9 π V 2 4 - 2 3 ∙ 2 ∙ 9 π V 4 ∙ 1

Podemos arrumar essa expressão aí! Saca só:

d A d V = 1 3 ∙ 9 π V 2 4 - 2 3 ∙ 2 ∙ 9 π V 4 ∙ 1 ∙ V V

d A d V = 2 3 V ∙ 9 π V 2 4 - 2 3 ∙ 9 π V 2 4

d A d V = 2 3 V ∙ 9 π V 2 4 - 2 3 + 1

d A d V = 2 3 V ∙ 9 π V 2 4 1 3

d A d V = 2 3 3 3 V 3 1 3 ∙ 9 π V 2 4 1 3

d A d V = 2 3 3 3 V 3 1 3 ∙ 3 2 ∙ π V 2 2 2 1 3

d A d V = 2 3 ∙ 3 2 ∙ π ∙ V 2 2 2 ∙ 3 3 ∙ V 3 1 3

d A d V = 2 π 3 V 1 3

Portanto a taxa de variação da área em relação ao volume será:

d A d V = 2 π 3 V 3   u n i d .   á r e a   /   u n i d .   v o l

Resposta

A taxa de variação da área da base em relação ao volume do cone:

d A d V = 2 π 3 V 3   u n i d .   á r e a   /   u n i d .   v o l

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