Enunciado

O coeficiente angular da reta tangente, no ponto de abcissa x , ao gráfico de y = f x , é proporcional ao cubo da ordenada do ponto de tangência. Sabendo que f 0 = 1   e   f 1 = 1 2 , determine f .

Passo 1

Pra começar precisamos saber o que significa cada coisa.

Primeiro, que raios é o coeficiente angular da reta tangente?

Bem oda reta tangente de uma função de apenas 1 variável é escrita assim:

a x - x 0 + y 0 = y

Sendo a o coeficiente angular e sendo que:

a = y - y 0 x - x 0 = ∆ y ∆ x

Porém, se usar variações de x   e   y , infinitesimais teremos:

a = d y d x

Ótimo!

Como ele diz que o x   é a abcissa, e então a ordenada tem que ser y , que é igual f x

Assim sendo podemos escrever a seguinte relação:

d y d x ∝ y 3

Já que ele diz que d y d x é proporcional a y 3 , porém se é proporcional devemos acrescentar uma constante de proporcionalidade que vou chamar de β , então:

d y d x = β y 3

Passo 2

Agora que temos a relação só precisamos colocar de cada lado o que tiver a mesma variável:

d y β y 3 = d x

Integrando:

∫ d y β y 3 = ∫ d x

1 β y - 2 - 2 + c 1 = x + c 2

Se chamarmos k = c 2 - c 1

- 1 2 β y 2 = x + k

E lembrando que y = f x , então, quando x = 0 → y = 1 , por consequência:

- 1 2 β 1 2 = 0 + k → - 1 2 β = k

E quando x = 1 → y = 1 2 , por consequência:

- 1 2 β 1 2 2 = 1 + k → - 1 2 β 1 2 = 1 + k → - 1 β = 1 + k

Passo 3

Agora temos duas relações e duas incógnitas, assim sendo conseguimos achar os valores das duas fazendo um sistema linear:

- 1 β = 1 + k

- 1 2 β = k → - 1 β = 2 k

Então:

2 k = 1 + k → k = 1

Assim:

- 1 β = 1 + k → - 1 β = 1 + 1 → - 1 β = 2 → - 1 2 = β

Ótimo, podemos agora montar a equação:

- 1 2 β y 2 = x + k → - 1 2 - 1 2 y 2 = x + 1

1 y 2 = x + 1

Queremos achar y , por isso vamos elevar ambos os lados por - 1 :

y 2 = 1 x + 1

y = 1 x + 1 = 1 x + 1

Passo 4

y = 1 x + 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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