Resolva (y/x) \* (dy/dx) = e^x / ln(y) sujeito a y(1) = 1 .

Passo 1

Opa! Tudo beleza?

Bora resolver essa equação aí?

y x d y d x = e x ln ⁡ y

Ela tem muita cara de EDO separável, vamos tentar separar as variáveis...

y ln ⁡ y   d y = x e x   d x

Beleza! Separamos!

Passo 2

Agora a gente vai integrar os dois lados:

∫   y ln ⁡ y d x =   ∫ x   e x   d y

1 2 y 2 ln ⁡ y - y 2 4 = x e x - e x + C

Multiplicando tudo por 4 pra ficar mais bonitinho...

2 y 2 ln ⁡ y - y 2 - 4 x e x + 4 e x = c 1

Agora vamos descobrir esse c 1 aí usando a condição inicial y 1 = 1 .

Passo 3

Substituindo a condição na EDO:

2 y 2 ln ⁡ y - y 2 - 4 x e x + 4 e x = c 1

2 1 2 ln ⁡ 1 - 1 2 - 4 1 e 1 + 4 e 1 = c 1

- 1 - 4 e + 4 e = c 1

c 1 = - 1

Então a solução do nosso PVI é:

2 y 2 ln ⁡ y - y 2 - 4 x e x + 4 e x = - 1

Resposta

2 y 2 ln ⁡ y - y 2 - 4 x e x + 4 e x = - 1

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