Calcule as integrais nos Exercícios 1-34.

16. ∫ 0 π 6 ( sec ⁡ x + t g   x ) ² d x

Passo 1

Então galera, inicialmente vamos abrir esse produto notável aí, ok? Se liga como vai ficar:

∫ 0 π 6 ( s e c ² x + 2 sec ⁡ x . t g   x + t g ² x ) d x

Sabendo que a integral de uma soma é igual a soma das integrais, teremos

∫ 0 π 6 s e c ² x d x + 2 ∫ 0 π 6 sec ⁡ x . t g x d x + ∫ 0 π 6 t g ² x d x

Além disso, podemos escrever essa t g ² x de outra maneira segundo a trigonometria, não é mesmo? Se Liga:

∫ 0 π 6 s e c ² x d x + 2 ∫ 0 π 6 sec ⁡ x . t g x d x + ∫ 0 π 6 s e c 2 x - 1 d x

Abrindo e unindo os termos semelhantes:

2 ∫ 0 π 6 s e c ² x d x + 2 ∫ 0 π 6 sec ⁡ x . t g x d x - ∫ 0 π 6 d x

Passo 2

Para resolvermos as duas primeiras integrais, devemos utilizar o raciocínio do teorema fundamental do cálculo, ok? Temos que pensar o seguinte: qual é a função que quando derivada dá o integrando? Isto é:

F ' x = d d x ∫ 0 x f ( t ) d t = f ( x )

Parece um bicho de 7 cabeças, não é mesmo? Mas fazendo algumas questões já fica claro que não é. Se liga!

Passo 3

Que função que derivamos e dá s e c ² x ? Sim, é a função t g   x !

Que função que derivamos e dá sec ⁡ x .   t g   x ? Sim, é a função sec ⁡ x !

Sendo assim, teremos:

2 ∫ 0 π 6 s e c ² x d x + 2 ∫ 0 π 6 sec ⁡ x . t g x d x - ∫ 0 π 6 d x = 2 t g   x π 6 0 + 2 sec ⁡ x π 6 0 - [ x ] π 6 0

2 ∫ 0 π 6 s e c ² x d x + 2 ∫ 0 π 6 sec ⁡ x . t g x d x - ∫ 0 π 6 d x = 2 3 - π 6 - 2

∴ ∫ 0 π 6 ( sec ⁡ x + t g   x ) ² d x = 2 3 - π 6 - 2

Resposta

∫ 0 π 6 ( sec ⁡ x + t g   x ) ² d x = 2 3 - π 6 - 2

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