Enunciado

Coeficientes a determinar. Vamos mostrar um modo diferente de resolver a equação

d y d t = a y - b

(a) Resolva a equação simples

d y d t = a y

(b) Observe que a única diferença entre as Eqs. (i) e (ii) é a constante -b na Eq.1. Parece razoável, portanto supor que as soluções dessas equações diferem de apenas uma constante. Teste essa hipótese tentando encontrar uma constante k tal que y   =   y 1 t + k é uma solução da Eq.1.

Passo 1

Vamos agora ver como resolvemos edo do seguinte tipo:

d y d t = a y

Sabemos que y é função de t, portanto multiplicamos ambos os lados da equação por d t .

d y = a y d t ⇒ d y y = a d t   c o m   a ≠ 0

Agora, integramos ambos os lados

∫ d y y = ∫ a d t ⇒ ln ⁡ y = a t + C  

⇒ y 1 = c e a t

Passo 2

b) Seja   y   =   y 1 t + k solução de Eq.1, portanto

y 1 ' t = a y 1 t + k - b  

a c e a t = a c e a t + a k - b

k   = b a

Resposta

y 1 = c e a t

k   = b a

Exercícios de Livros Relacionados

O semicírculo com diâmetro P Q está sobre um triangulo isósceles P Q R para formar uma região com um formato de sorvete, conforme mostra a figura. Se A ( θ ) for a área do semicírc...
46. Determine as forças no elemento G C da treliça e indique que se ele está sob tração ou compressão.
Calcule o centroide da área a seguir em termos das variáveis dos raios:
Considere o trilho de uma estrada de ferro reta e horizontal com um vagão ferroviário de 50000kg se deslocando ao longo da linha férrea a uma velocidade constante de 15m/s. Determi...
Uma correia feita de material isolante, com 50   c m de largura, se move a uma velocidade de 30   m / s . A carga que a correia transporta até um aparelho de laboratório correspond...
Se A for uma matriz m × n e se o sistema linear A x = b for consistente com qualquer vetor b em R m , o que pode ser dito sobre a imagem de T A : R n → R m ?
(Requer cálculo) Seja V o espaço vetorial das funções reais com derivadas continuas de todas as ordens no intervalo   - ∞ ,   ∞ e W = F ( - ∞ ,   ∞ ) o espaço vetorial de todas as ...
Calcule a integral. ∫ z 3 e z   d z
Seja E uma matriz elementar 2 × 2 fixada. Decida se a fórmula T A = E A define um operador linear injetor de M 2 × 2 . Explique seu raciocínio.
Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação linear injetora. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6 A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0 A = 4 - 2 1 5 5 3
Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →