Enunciado

Escreva uma equação diferencial da forma d y d t = a y + b   cujas soluções têm o comportamento descrito quando t   →   ∞

Todas as soluções tendem a y   =   3

Passo 1

Campos de direções são ferramentas valiosas no estudo de soluções de equações diferenciais da forma

d y d t = f t , y

Em que f é uma função dada de duas variáveis, t   e   y , algumas vezes chamada de função taxa. Um campo de direções pode ser constuido calculando f em cada ponto de uma malha retangular. Em cada ponto da malha desenha-se um pequeno segmento de reta cujo coeficiente angular é o valor da função f naquele ponto.

Um campo de direções fornece uma boa ideia do comportamento global das soluções de uma equação diferencial.

Para construir campos de direções não precisamos resolver nossa EDO, basta calcular a função dada f ( t , y )   muitas vezes.

Passo 2

Como as soluções tem que tender a y = 3, temos que f t , y = 0 ,   com 3 sendo raíz de f ( t , y ) . Além disso, acima de y = 3 no gráfico de y   × t os segmentos no campo de direções tem que ter coeficiente negativo e abaixo da reta y = 3 positivo

Passo 3

Dessa forma , y ' = 3 - y

É uma possível solução, pois atende as propriedades acima

Resposta

y ' = 3 - y

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Ligue a equação diferencial a seu campo de direções (I – IV). Dê as razões para sua resposta.5. y ' = x + y - 1
Ligue a equação diferencial a seu campo de direções (I – IV). Dê as razões para sua resposta.4. y ' = x ( 2 - y )
Ligue a equação diferencial a seu campo de direções (I – IV). Dê as razões para sua resposta.3. y ' = 2 - y
Ligue a equação diferencial a seu campo de direções (I – IV). Dê as razões para sua resposta.6. y ' = s e n x s e n y
Use o campo de direções II (acima) para esboçar os gráficos das soluções que satisfazem as condições iniciais dadas. y 0 = 1 y 0 = 2 y 0 = - 1