Enunciado

Uma companhia explora o minério de níquel. Se a companhia extrair x toneladas de minério, pode vendê-lo a p = 225 - 0,25 x dólares por tonelada. Encontre as funções receita e receita marginal. Qual é o nível de produção que fornece a maior receita?

Passo 1

Então pessoal, de acordo com o que estudamos no capítulo em questão, temos que a função receita é dada pela seguinte relação:

R x = p x

Onde, no nosso caso, x são os minérios e p é o dinheiro em dólares envolvido! Como a questão já nos dá p , então:

R x = 225 - 0,25 x . x

∴ R x = 225 x - 0,25 x 2

E essa é a nossa função receita!

Passo 2

Ademais, o enunciado também nos pede a receita marginal. Para encontrarmos a receita marginal basta derivarmos a função receita que acabamos de encontrar no passo anterior, se liga:

R ' x = 225 - 0,5 x

Ou melhor:

R ' x = 1 2 450 - x

Show! Para descobrirmos qual é o nível de produção que fornece a maior receita devemos igualar nossa receita marginal a zero para encontrar os pontos críticos, se liga:

1 2 450 - x = 0

Para isso dar zero:

x = 450

Note que para x < 450 temos que R ' x > 0 e para x > 450 temos que R ' x < 0 . Se a derivada sai de crescente para decrescente, como é o nosso caso, isso implica que x = 450 é um ponto de máximo, assim como buscávamos!

Sendo assim, temos que a receita máxima ocorre quando a empresa extrai 450 toneladas de minério!

Resposta

R x = 225 x - 0,25 x 2

R ' x = 1 2 450 - x

Receita máxima: x = 450 toneladas de minério.

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