Enunciado

Em um certo processo de fabricação química, o peso diário y de produção defeituosa depende do peso x de toda a produção, de acordo com a fórmula empírica:

y = 0,01 x + 0,00003 x 2

Onde x e y estão em quilos. Se o lucro for $ 100 por kg do produto químico sem defeito e a perda for de $ 20 por kg de produto químico defeituoso produzido, quantos quilos do produto devem ser produzidos diariamente para maximizar o lucro diário total?

Passo 1

Então pessoal, o grande problema dessa questão é a interpretação de como se dá o lucro dessa empresa, fábrica, indústria ou sei lá! Em essência, temos que o lucro da empresa tem que respeitar a seguinte relação:

L u c r o = L u c r o   P r o d u t o   n ã o   d e f e i t u o s o - P e r d a   ( P r o d u t o   d e f e i t u o s o )

Então o que temos que fazer é determinar quem seriam as expressões do lucro e da perda, certo? Então vamos lá!

Passo 2

A produção defeituosa depende do quanto é produzido e isso é dado pela fórmula:

y = 0,01 x + 0,00003 x 2

O produto não defeituoso é a diferença entre o que é produzido e o quanto é defeituoso, certo? Então:

x - y

No entanto, o lucro desse produto sem defeito é $ 100 , então o lucro seria o seguinte:

100 x - y

Ademais, a perda por produto defeituoso é $ 20 , então a expressão associada a perda seria:

20 y

Logo, a expressão de lucro total da empresa ficaria assim:

P x = 100 x - y - 20 y

P x = 100 x - 120 y

Mas:

y = 0,01 x + 0,00003 x 2

Substituindo:

P x = 100 x - 120 0,01 x + 0,00003 x 2

P x = 98,8 x - 0,0036 x 2

Show!

Passo 3

Ok, determinamos a expressão que queríamos! Para determinarmos o lucro máximo devemos utilizar os conceitos de cálculo que aprendemos, galera! Derivando nossa função e igualando a zero, teremos:

P ' x = 98,8 - 0,0072 x = 0

0,0072 x = 98,8

Disso tiramos que:

x ≈ 13,722   k g

Sendo assim, temos que 13,722 quilos do produto devem ser produzidos diariamente para maximizar o lucro diário total!

Resposta

x ≈ 13,722   k g

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34. Suponha que a soma das áreas das superfícies de uma esfera e de um cubo seja constante.a) Mostre que a soma dos volumes é mínima quando o diâmetro da esfera for igual ao comprimento de uma aresta