Calcule.

∫ 0 π 3 cos ⁡ 2 x d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = 2 x

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 2 d x

E temos que os novos limites de integração vão ser:

x = 0 → u = 2 ⋅ 0 = 0

x = π 3 → u = 2 ⋅ π 3 = 2 π 3

Vamos agora fazer a substituição:

∫ 0 π 3 cos ⁡ 2 x d x = ∫ 0 2 π 3 cos ⁡ u 2 d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ cos ⁡ u 2 d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ cos ⁡ u 2 d u = 1 2 ∫ cos ⁡ u d u = sen ⁡ u 2 + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Ficamos então com:

∫ 0 2 π 3 cos ⁡ u d u = sen ⁡ u 2 0 2 π 3 = sen ⁡ 2 π 3 2 - sen ⁡ 0 2 = 3 2 2 - 0 = 3 4

Resposta

∫ 0 π 3 cos ⁡ 2 x d x = 3 4

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