Enunciado

Represente graficamente os pontos (dados em coordenadas polares). Em seguida, encontre todas as coordenadas polares de cada um dos pontos.

a. ( 2 , π / 2 )

b. ( 2,0 )

c. ( - 2 , π / 2 )

d. ( - 2,0 )

Passo 1

E aí, galera? Mais uma questão para a gente identificar pontos nas coordenadas polares. Depois, temos que descobrir todas as combinações possíveis de coordenadas para esses pontos.

Os pontos estão representados, graficamente, na figura abaixo:

Passo 2

Bom, cada ponto pode ser representado pela suas coordenadas iniciais e também somando múltiplos de 2 π ao ângulo ou invertendo o sinal de r e depois somando múltiplos ímpares de 2 π ao ângulo. Assim, temos

a. ( 2 , π / 2 )

Para r = 2 , temos a seguinte lista de ângulos:

π / 2 ± 2 π ,   π / 2 ± 4 π ,   . . .

Para r = - 2 , temos a seguinte lista de ângulos:

π / 2 ± π ,   π / 2 ± 3 π ,   . . .

Assim, temos ( 2 , π / 2 ± 2 n π ) e ( - 2 , π / 2 ± 2 ( n + 1 ) π ) .

b. ( 2,0 )

Para r = 2 , temos a seguinte lista de ângulos:

0 ± 2 π ,   0 ± 4 π ,   . . .

Para r = - 2 , temos a seguinte lista de ângulos:

0 ± π ,   0 ± 3 π ,   . . .

Assim, temos ( 2 , ± 2 n π ) e ( - 2,2 ( n + 1 ) π ) .

c. ( - 2 , π / 2 )

Quando r = - 2 , temos a seguinte lista de ângulos:

π / 2 ± 2 π ,   π / 2 ± 4 π ,   . . .

Quando r = 2 , temos a seguinte lista de ângulos:

π / 2 ± π ,   π / 2 ± 3 π ,   . . .

Assim, temos ( - 2 , π / 2 ± 2 n π ) e ( 2 , π / 2 ± 2 ( n + 1 ) π ) . Para inverter o sinal de r , temos que somar π a todos os ângulos, ou seja, ( 2,3 π / 2 ± 2 n π ) e ( - 2,3 π / 2 ± 2 ( n + 1 ) π ) .

d. ( - 2,0 )

Aqui, também queremos trocar o sinal do raio, então, vamos somar π a todos os ângulos. Quando r = 2 , temos a seguinte lista de ângulos:

π ± 2 π ,   π ± 4 π ,   . . .

Quando r = - 2 , temos a seguinte lista de ângulos:

π ± π ,   π ± 3 π ,   . . .

Assim, temos ( 2 , π ± 2 n π ) e ( 2 , π ± 2 ( n + 1 ) π ) . Podemos rearranjar os ângulos para escrever ( 2 , ( 2 n + 1 ) π ) e ( 2,2 n π ) .

Resposta

a. ( 2 , π / 2 ± 2 n π ) e ( - 2 , π / 2 ± 2 ( n + 1 ) π )

b. ( 2 , ± 2 n π ) e ( - 2,2 ( n + 1 ) π )

c. ( 2,3 π / 2 ± 2 n π ) e ( - 2,3 π / 2 ± 2 ( n + 1 ) π )

d. ( 2 , ( 2 n + 1 ) π ) e ( 2,2 n π )

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