Enunciado

(i) Complete a tabela e dê um palpite sobre o limite indicado

(ii) Confirme suas conclusões sobre o limite desenhando o gráfico da função sobre um intervalo adequado

f x = e x - 1 x ; lim x → 0 ⁡ f ( x )

Passo 1

(i) Não tem mistério: aqui é só jogar os valores de x da tabela na função e calcular f ( x ) . Agora, é claro que fazer isso na mão fica complicado. Sugiro que você use uma calculadora gráfica ou mesmo o Excel pra isso.

Jogando esses valores no Excel ou na calculadora, vamos ter então, respectivamente para f ( x ) :

0,9950 ;

0,9995 ;

1,0000 ;

1,0000 ;

1,0005 ;

1,0050

Passo 2

(ii) Temos pra essa função o gráfico:

Precisamos, ainda, calcular o limite pra confirmar o que vemos no gráfico. Pra isso, vamos começar com uma mudança de variável pra nos ajudar no cálculo. Consideraremos que:

u = e x - 1

Assim, por consequência:

x = ln ⁡ ( u + 1 )

Assim, quando x → 0 , u → 0 , já que e 0 - 1 = 1 - 1 = 0 . Reescrevemos o limite assim:

lim x → 0 ⁡ e x - 1 x ≡ lim u → 0 ⁡ u ln ⁡ ( u + 1 )

Mas, no que isso nos ajuda? Vamos entender! Fazemos uma pequena manipulação, dividindo numerador e denominador por u , assim:

lim u → 0 ⁡ 1 1 u ln ⁡ ( u + 1 )

Pela propriedade do expoente do logaritmando (termo do logaritmo), podemos escrever isso assim:

lim u → 0 ⁡ 1 ln ⁡ ( u + 1 ) 1 u

Passo 3

Como logaritmo é uma função contínua, o limite da função logaritmo equivale ao logaritmo do limite da função. Conseguiu entender, ou muito confuso? Escrevendo isso matematicamente você vai entender:

lim u → 0 ⁡ 1 ln ⁡ ( u + 1 ) 1 u ≡ 1 ln ⁡ lim u → 0 ⁡ ( u + 1 ) 1 u

De conhecimentos prévios de Cálculo, você já deve ter ouvido falar (caso não, tente dar uma pesquisada rápida!) nos limites fundamentais. Um deles é o que acabou de aparecer no denominador, e tem seu vaor bem definido:

lim u → 0 ⁡ ( u + 1 ) 1 u = e

Isso resolve nosso problema, e podemos assim calcular o limite muito facilmente. Temos:

∴ 1 ln ⁡ lim u → 0 ⁡ ( u + 1 ) 1 u = 1 ln ⁡ e = 1 1 = 1

Olhando no gráfico, e pelos valores da função nos pontox x próximos de 0, confirmamos que, de fato, quando x tende a 0, a função tende a 1.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule o limite, se existir.13) lim x → 2 ⁡ x ² - x + 6 x - 2 ²
Calcule o limite e justifique cada passo indicando as regras do limite utilizadas.
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Calcule o limite, se ele existir.
Calcule o limite, se ele existir.