Enunciado

Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f nos intervalos fechados dados e indique onde ocorrem esses valores

9. f x = x - 2 3 ; [ 1 , 4 ]  

Passo 1

Os pontos críticos são calculados primeiramente fazendo a derivada e achando quando que ela é igual a zero, então derivando f x , pela regra da cadeia, temos:

f ' x = 3 x - 2 2

E quando f x = 0

3 x - 2 2 = 0

x = 2

Temos que x = 2 é um ponto crítico

Passo 2

Agora falta descobrir se é um ponto de máximo ou mínimo. Para isso vamos fazer o teste da primeira derivada, vamos pegar um ponto a esquerda de 4 e um a direita de 4

f ' 1 = 3 ( 1 ) - 2 2

f ' 1 = 3

e

f ' 3 = 3 3 - 2 2

f ' 3 = 3

Entao, nesse caso a derivada antes é positiva e depois também, então o ponto não é um ponto crítico, não sendo nem um “topo da colina” nem um “buraco”, nesse caso. Outra maneira de analisar o tipo de ponto crítico é fazendo o teste da segunda derivada, se f ' ' 2 < 0 então o ponto é máximo, se f ' ' 2 > 0 então o ponto é mínimo, se f ' ' 2 = 0 é inconclusivo

Passo 3

Vamos fazer o teste da segunda derviada para descobrir o que é esse ponto.

f ' ' x = 6 ( x - 2 )

f ' ' 2 = 6 2 - 2 = 0

Então não podemos concluir se é um ponto de máximo e mínimo por esse método, analisando o gráfico temos uma função do 3º grau, que seu gráfico é esse aqui:

Conseguimos ver que o ponto x = 2 não é um ponto de máximo nem mínimo, e que a função está sempre crescendo, então, no intervalo de [ 1,4 ] , o ponto máximo é em x = 4 e o mínimo em x = 2 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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