Enunciado

Confirme que a fórmula dada é a aproximação linear local em x 0   =   0 e use um recurso computacional para estimar um intervalo de valores de x no qual o erro na aproximação é de, no máximo, ± 0,1 .

1 9 - x   ≈ 1 3 + 1 54 x

Passo 1

A Fórmula (1) diz que:

f x ≈ f x 0 + f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Para nossa função f x = 1 9 - x   em x 0   =   0 vamos ter que:

f x 0 = f 0 = 1 9 - 0 = 1 9 = 1 3  

Derivando a expressão:

f ' x = 1 9 - x   ' = - 1 2 9 - x 3

f '   x 0 = f ' 0 = - 1 2 9 - 0 3 = 1 2 9 3

f '   x 0 = 1 2 3 3 = 1 54  

Passo 2

Substituindo todos esses dados na Fórmula (1)

f x = 1 9 - x ≈ f x 0 + f ' x 0 x - x 0

Como x 0 = 0

1 9 - x ≈ f 0 + f ' 0 x - 0

1 9 - x ≈ 1 3 + 1 54 ( x - 0 )

1 9 - x ≈ 1 3 + 1 54 x

Confirmado 😊

Passo 3

Para que o erro na aproximação seja de, no máximo, ± 0,1 .

  f x - f x a p r o x i m a d o ≤ 0,1

  1 9 - x     - 1 3 - 1 54 x ≤ 0,1

  1 9 - x     - 1 3 - 1 54 x ≤ 0,1

Usando artifícios computacionais teremos que isso acontece aproximadamente quando - 11,95 ≤ x ≤ 5,5

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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42) Em Physics: Calculus, de Eugene Hecht, 2 . ed., Pacific Grove, CA, Brooks/Cole, 2002, p. 431 durante a dedução da fórmula T = 2 π L g para o período de um pêndulo de comprimento L , o autor obtém