Enunciado

44) Suponha que não tenhamos uma fórmula para g ( x ) , mas sabemos que g 2 = - 4 e g ' x =   x 2 + 5 para todo x .

(a) Use uma aproximação linear para estimar g ( 1,95 ) e g ( 2,05 ) .

(b) Suas estimativas na parte (a) são muito grandes ou pequenas? Explique.

Passo 1

E aí, galerinha! 😊

Nesse problema temos que usar uma aproximação linear para estimar g ( 1,95 ) e g ( 2,05 ) sabendo que que não temos uma fórmula para g ( x ) , mas sabemos que g 2 = - 4 e g ' x =   x 2 + 5 para todo x . Além disso queremo analisar se essas estimativas são muito grandes ou pequenas.

Tem ideia de como fazemos isso?

A linearização de uma função é dada por

L x = f a + f ' ( a ) ( x - a )

A partir daí podemos começar a desenvolver nosso problema.

Veja só! 😉

Passo 2

Item a:

Para obter a linearização L ( x ) uma função f x , devemos utilizar a aproximação da função em a :

L x = f a + f ' ( a ) ( x - a )

Temos que g 2 = - 4 e pelo gráfico, podemos ver que g ' 2 =   2 2 + 5 = 3 . Para a = 2 , temos então:

L x = - 4 + 3 ( x - 2 )

L x = 3 x - 10

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Para g ( 1,95 ) :

L 1,95 = 3 ( 1,95 ) - 10

L 1,95 = - 4,15

g ( 1,95 ) ≈ L 1,95 = - 4,15

g ( 1,95 ) ≈ - 4,15

Para   g ( 2,05 ) :

L 1,1 = 3 ( 2,05 ) - 10

L 1,1 = - 3,85

g ( 2,05 ) ≈ L 1,1 = - 3,85

g ( 2,05 ) ≈ - 3,85

Bacana, não é? 😬

Passo 4

Item b:

Neste caso temos que a derivada da função nessa proximidade é positiva e crescente, isso implica que a função é crescente e possui a concavidade é votada para cima.

Ou seja, a função tem um crescimento mais rápido a as retas tangentes estão abaixo da função g , logo, as estimativas são muito pequenas em relação a g .

E aí! o que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

(a) g ( 1,95 ) ≈ - 4,15 e g ( 2,05 ) ≈ - 3,85 .

(b) As estimativas são muito pequenas em relação a g .

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8) Verifique a aproximação linear dada em a = 0 . A seguir, determine os valores de x para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1. t gx ≈ x
Verifique a aproximação linear dada em a = 0 . A seguir, determine os valores de x para os quais a aproximação linear tem precisão de 0,1 . 1 1 + 2 x 4 ≈ 1 - 8 x
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