Enunciado

42) Em Physics: Calculus, de Eugene Hecht, 2 . ed., Pacific Grove, CA, Brooks/Cole, 2002, p. 431 durante a dedução da fórmula T = 2 π L g para o período de um pêndulo de comprimento L , o autor obtém a equação a r = - g sen ⁡ θ para a aceleração tangencial do peso do pêndulo. Ele então afirma: “para ângulos pequenos, o valor de θ em radianos é muito próximo do valor de sen ⁡ θ ; eles diferem por menos do que 2 % até cerca de 20 °

(a) Verifique a aproximação linear em 0 para a função seno:

sen ⁡ x ≈ x

(b) Use uma ferramenta gráfica para determinar os valores de x para os quais sen ⁡ x e x difiram por menos que 2 % . Então, verifique a afirmação de Hecht, convertendo de radianos para graus.

Passo 1

Item a:

Para obter a linearização L ( x ) uma função f x , devemos utilizar a aproximação da função em a :

L x = f a + f ' ( a ) ( x - a )

Para isso vamos derivar f x = s e n   x :

f ' x = cos ⁡ x

Então, L ( x ) em a = 0 é:

L x = sen ⁡ 0 + cos ⁡ 0 ( x - 0 )

L x = 0 + 1 x - 0

L x = x

Logo, a linearização está correta.

Passo 2

Item b:

Queremos os valores para os quais o módulo do erro é menor que 2 % , ou seja:

x - sen ⁡ x sen ⁡ x < 0,02

x - sen ⁡ x sen ⁡ x - 0,02 < 0

Se chamarmos g x = x - sen ⁡ x sen ⁡ x - 0,02 , então queremos os valores para os quais g x < 0 .

O gráfico de g x é:

Passo 3

Como podemos ver, g ( x ) só é negativa para valores de x bem próximos de 0 (zero), mas diferentes de zero pois a função não está definida para x = 0 (não existe divisão por 0).

Temos que g x = 0 quando x ≈ 0,344 ou x ≈ - 0,344 , logo, o intervalo de x que procuramos é:

S = - 0,344 < x < 0,344 - 0

Se o ângulo é de 0,344 radianos, então ele corresponde a 0,344 × 180 π ° ≈ 19,71 . Logo, a afirmação de Hecht é comprovada pois esse valor não ultrapassa 20 ° .

Resposta

(a) A linearização está correta.

(b) A afirmação de Hecht é comprovada pois esse valor não ultrapassa 20 ° .

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