Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.10 - Ex. 42
42) Em Physics: Calculus, de Eugene Hecht, ed., Pacific Grove, CA, Brooks/Cole, 2002, p. durante a dedução da fórmula para o período de um pêndulo de comprimento , o autor obtém a equação para a aceleração tangencial do peso do pêndulo. Ele então afirma: “para ângulos pequenos, o valor de em radianos é muito próximo do valor de ; eles diferem por menos do que até cerca de ”
(a) Verifique a aproximação linear em para a função seno:
(b) Use uma ferramenta gráfica para determinar os valores de para os quais e difiram por menos que . Então, verifique a afirmação de Hecht, convertendo de radianos para graus.
Passo 1
Item a:
Para obter a linearização uma função , devemos utilizar a aproximação da função em :
Para isso vamos derivar :
Então, em é:
Logo, a linearização está correta.
Passo 2
Item b:
Queremos os valores para os quais o módulo do erro é menor que , ou seja:
Se chamarmos , então queremos os valores para os quais .
O gráfico de é:
Passo 3
Como podemos ver, só é negativa para valores de bem próximos de (zero), mas diferentes de zero pois a função não está definida para (não existe divisão por 0).
Temos que quando ou , logo, o intervalo de que procuramos é:
Se o ângulo é de radianos, então ele corresponde a . Logo, a afirmação de Hecht é comprovada pois esse valor não ultrapassa .
Resposta
(a) A linearização está correta.
(b) A afirmação de Hecht é comprovada pois esse valor não ultrapassa .