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Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume dessa cúpula é r 3 3 .

Passo 1

Bom galera, vamos começar pegando a função geral que suporte os valores de um semicírculo, no caso é:

x = r 2 - y 2

Indo apenas de y = 0 , até r , apenas pela parte positiva, logo:

0 ≤ y ≤ r

Passo 2

Belezinha, a nossa integral para o volume é:

V = ∫ a b A ( x )   d x

Então vamos encontrar a função da área, que no caso é a área de um hexágono:

A = 3 3 2 s 2

→ A = 3 3 2 r 2 - y 2 2

Passo 3

Show de bola, vamos montar nossa integral agora:

V = ∫ 0 r 3 3 2 r 2 - y 2 2 d y

→ V = ∫ 0 r 3 3 2 r 2 - y 2   d y

Passo 4

Por fim, resolvemos nossa integral:

V = ∫ 0 r 3 3 2 r 2 - y 2   d y

= 3 3 2 r 2 y - y 3 3 0 r = r 3 3

Resposta

r 3 3

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