Enunciado

Mostre que a função no Exemplo 6 tem limite 0 ao longo de cada linha reta se aproximando de ( 0 ,   0 ) .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem com vocês? Vem comigo!

Primeiramente precisamos da função do Exemplo 6, que é:

f x ,   y = 2 x 2 y x 4 + y 2

Então, vamos nos aproximar de 0 ,   0 ao longo do eixo x , considerando que y = 0 , temos:

f x ,   0 = 2 x 2 ∙ 0 x 4 + 0 2 = 0

Logo f x ,   y → 0 , quando x ,   y → 0 ,   0 ao longo do eixo x .

Passo 2

Agora, vamos aproximar ao longo do eixo x , com x = 0 :

f 0 ,   y = 2 ∙ 0 2 ∙ y 0 4 + y 2 = 0

Sendo assim, f x ,   y → 0 , quando x ,   y → 0 ,   0 ao longo do eixo y .

Apesar de encontrarmos valores idênticos ao longo dos eixos, não podemos afirmar que o limite exista e seja zero, como vimos no Exemplo 6, esse limite não existe quando fazemos o caminho ao longo da curva y = k x 2 .

Ou seja, ter o mesmo limite ao longo de todas as linhas retas se aproximando de x 0 ,   y 0 não implica que um limite exista em x 0 ,   y 0 .

Consegui te ajudar? Espero que sim, até mais pessoal!

Resposta

Resposta no Passo.

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize um gráfico feito por computador para explicar por que o limite não existe. lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x 2 + 3 x y + 4 y 2 3 x 2 + 5 y 2
Utilize um gráfico feito por computador para explicar por que o limite não existe. lim x , y → 0,0 ⁡ x y 3 x 2 + y 6
7. underset((x , y) - ( 2,1 ))(lim) (4 - x y)/(x^2 + 3 y^2)