Enunciado

Considerar um retângulo com lados a = 5 cm e b = 2 cm. Como vai variar, aproximadamente, a diagonal desse retângulo se o lado a aumentar 0,002 cm e o lado b diminuir 0,1 cm?

Passo 1

A diagonal do retangulo é dado por uma função de duas variáveis, o lado(a) e o lado(b).De modo que, é dado pela seguinte fórmula

x     = a 2 + b 2

Como queremos o valor aproximado da diagonal ao modificarmos suas incógnitas é razoável pensar na diferencial da diagonal

d x   =   ∂ x ∂ a d a + ∂ x ∂ b   d b

∂ x ∂ a = a a 2 + b 2

∂ x ∂ b = b a 2 + b 2

Portanto,

d x   = a a 2 + b 2 d a + b a 2 + b 2   d b

Passo 2

Pelo enunciado temos

d a = 0,002   ; d b = - 0,1

Substituindo para a = 5 e b = 2

d x   = 5 29 0,002 - 2 29 0,1 =   - 0,03528   c m

Resposta

- 0,03528   c m

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Mostre que a função é diferenciável achando valores ε 1 e ε 2 que satisfaçam à Definição 7. f x , y = x y - 5 y 2
Demonstre que, sef é uma função de duas variáveis diferenciável em ( a , b ) , então f é contínua em ( a , b ) . Sugestão: Mostre que lim Δ x , Δ y → 0,0 ⁡ f ( a + Δ x , b + Δ y ) = f ( a , b )
Mostre que a função é diferenciável achando valores ε 1 e ε 2 que satisfaçam à Definição 7. f x , y = x 2 + y 2
(a) A função corresponde ao gráfico da Figura 4. Mostre que f x ( 0,0 ) e f y ( 0,0 ) existem, mas f não é diferenciável em ( 0,0 ) . [Sugestão: Utilize o resultado do Exercício 45.](b) Explique por q
Mostre que, se z = f x ,y for diferenciável em x 0 = x 0 ,y 0 , então lim x - x 0 ⁡ f x - f x 0 - ∇ f x 0 ∙ x - x 0 x - x 0 = 0