Verificar a regra da cadeia

df/dt = (∂f/∂x) \* (dx/dt) + (∂f/∂y) \* (dy/dt)

Para a função

f(x, y) = (xe)^(2(xy)^2)

x = 2t

y = 3t - 1

Passo 1

A regra da cadeia é usada para derivar uma função composta para funções de uma variável, se y   =   f x   e   x = h ( t ) tem se

d y d t = d f x d x . d x d t

Se ambas f   e   h   forem deriváveis. Para funções de duas variáveis, tem se como 1º caso , o seguinte:

Suponha z   =   f ( x , y ) diferncialvel em x e y e de modo que x = g t e y   = h t diferenciáveis em t. Então z é diferenciável em t de forma que

d z d t = ∂ z ∂ x . d x d t + ∂ z ∂ y . d y d t

Passo 2

Para a função da nossa questão temos:

d f x , y d t = ∂ f x , y ∂ x . d x ( t 0 ) d t + ∂ f x , y ∂ y . d y t 0 d t

∂ f x , y ∂ x = ( 2 x y 2 + 1 ) e 2 x y 2

∂ f x , y ∂ y = 4 x 2 y e 2 x y 2

d x ( t ) d t = 2

d y t d t = 3  

Passo 3

Substituindo as equações encontradas na fórmula da regra da cadeia do 1º caso

d f x , y d t =   2 x y 2 + 1 e 2 x y 2 ×   2 + 4 x 2 y e 2 x y 2 ×   3 =

= e 2 x y 2 4 x y 2 + 2 + 12 x 2 y

Deixando tudo numa só variável (t)

= e 2 x y 2 4 x y 2 + 2 + 12 x 2 y = 216 t 3 - 96 t 2 + 8 t + 2 e ( 36 t 3 - 24 t 2 + 4 t )

Resposta

216 t 3 - 96 t 2 + 8 t + 2 e ( 36 t 3 - 24 t 2 + 4 t )

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