Enunciado

Considere o circuito ilustrado na figura a seguir.

Sejam I 1 , I 2 e I 3 as correntes atravessando, respectivamente, o capacitor, a resistência e o indutor. Analogamente, sejam V 1 , V 2 e V 3 as diferenças de tensão correspondentes. As setas denotam as direções, escolhidas arbitrariamente, nas quais as correntes e diferenças de tensão serão consideradas positivas.

(a) Aplicando a segunda Lei de Kirchhoff ao laço superior do circuito, mostre que

V 1 - V 2 = 0

De maneira análoga, mostre que

V 2 - V 3 = 0

(b) Aplicando a primeira Lei de Kirchhoff a qualquer dos nós no circuito, mostre que

I 1 + I 2 + I 3 = 0

(c) Use a relação entre a corrente e a diferença de tensão em cada elemento do circuito para obter as equações

C V 1 ' = I 1 ;

V 2 = R I 2 ;

L I 3 ' = V 3

(d) Elimine V 2 , V 3 , I 1 e I 2 das equações (i) a (iv) para obter

C V 1 ' = - I 3 - V 1 R ;

L I 3 ' = V 1

Passo 1

Vamos começar desenhando o laço superior para aplicar a lei de Kirchhoff:

Como a corrente (em azul) atravessa o capacitor na direção positivo-negativo, a tensão V 1 é negativa. Da mesma forma, como a corrente passa pelo resistor na direção negativo-positivo a tensão V 2 é positiva. Além disso, como não temos fontes de tensão no laço a somatória das tensões é zero. Então:

V 2 - V 1 = 0

V 1 - V 2 = 0

Vamos agora para o segundo laço:

Como a corrente (em azul) atravessa o resistor na direção positivo-negativo, a tensão V 2 é negativa. Da mesma forma, como a corrente passa pelo indutor na direção negativo-positivo a tensão V 3 é positiva. Além disso, como não temos fontes de tensão no laço a somatória das tensões é zero. Então:

V 3 - V 2 = 0

V 2 - V 3 = 0

Passo 2

O próximo passo é aplicarmos a primeira Lei de Kirchhoff no circuito. Ela diz que a somatória das correntes que saem do nó é igual à soma das correntes que entram no nó. Vamos usar o seguinte nó para aplicar a lei:

Podemos ver que o nó que escolhemos possui três correntes saindo e que nenhuma corrente entra no nó. Então:

I e n t = 0

I s a í d a = I 1 + I 2 + I 3

Pela primeira Lei de Kirchhoff:

I e n t = I s a í d a

0 = I 1 + I 2 + I 3

Para um capacitor é válida a relação:

d V d t = I C

Então

d V 1 d t = I 1 C

C V 1 ' = I 1

A queda de tensão em um resistor é dada pela relação:

V = R I

V 2 = R I 2

Para um indutor a queda é tensão pode ser escrita por:

L d I d t = V

L d I 3 d t = V 3

L I 3 ' = V 3

Passo 3

Nosso último passo será usar as relações que encontramos aplicando as Leis de Kirchhoff para simplificar o sistema de equações:

C V 1 ' = I 1 ;

V 2 = R I 2 ;

L I 3 ' = V 3

Pela primeira Lei de Kirchhoff vimos que:

I 1 + I 2 + I 3 = 0

I 3 = - I 1 - I 2

Substituindo as relações para a corrente no capacitor e no resistor:

C V 1 ' = I 1

I 2 = V 2 R

Ficamos com:

I 3 = - C V 1 ' - V 2 R

C V 1 ' = - I 3 - V 2 R

Pela segunda Lei de Kirchhoff encontramos as relações:

V 1 - V 2 = 0

V 2 - V 3 = 0

Então

V 1 = V 2

V 2 = V 3

V 1 = V 2 = V 3

Portanto

C V 1 ' = - I 3 - V 1 R

Já chegamos à primeira relação pedida pelo item (b). Vamos agora encontrar a segunda equação.

Aplicando o resultado da segunda lei de Kirchhoff na relação de tensão para o indutor:

L I 3 ' = V 3

L I 3 ' = V 1

E chegamos ao sistema:

C V 1 ' = - I 3 - V 1 R ;

L I 3 ' = V 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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