Enunciado

Considere a equação de Laplace uxx + uyy = 0 no paralelogramo cujos vértices são (0, 0), (2, 0), (3, 2) e (1, 2). Suponha que a condição de contorno no lado y = 2 é u(x, 2) = f(x) para 1 ≤ x ≤ 3 e que, nos outros três lados, u = 0 (veja a Figura 11.5.1).

Mostre que não existem soluções não triviais da equação diferencial parcial da forma u(x,y) = X(x) Y(y) que satisfaçam, também, as condições de contorno homogêneas..

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para analisarmos as deformações verticais de uma barra em suas condições de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser analisar a equação dada.

u x , y = X x Y y

Para a função, temos que as condições de contorno são homogêneas.

u x , 0 = 0     →       Y 0 = 0

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

y = 2 x

y = 2 x - 2

Como não conseguimos separar as dependências, nem X nem Y satisfazem o problema de valores de contorno homogêneo nesses pontos.

Resposta

Como não conseguimos separar as dependências, nem X nem Y satisfazem o problema de valores de contorno homogêneo nesses pontos.

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