Considere a equação de onda modificada

a^(-2) * t_n + gamma^2 * y = u_xx, 0 < x < L, t > 0 (i)

com codições iniciais

u(0.t) = 0, u(L, t) = 0, t > 0 (ii)

E condições inciais

u(x, 0) = f(x), u1(x, 0) = 0, 0 < x < L (iii)

a) Mostre que a solução pode ser escrita na forma

u x , t = ∑ n = 1 ∞ c n cos ⁡ n 2 π 2 L 2 + γ 2 a t s e n n π x L

onde

c n = 2 L ∫ 0 L f x s e n n π x L d x

b) Usando identidades trigonométricas, reescreva a solução como

u x , t = 1 2 ∑ n = t ∞ c n s e n n π L x + a n t + s e n n π L x - a n t

Determina a_n , a velocidade de propagação da onda.

c) Note que a_n, encontrada no intem (b) depende de n. Isso signific que os componentes dos diversos comprimentos de onda (ou frequência) são propagados em velocidades diferente, o que resulta em uma distorção de forma original da onda ao longo do tempo. Esse fenômeno é chamado de dispersão. Encontre a condição sob a qual a_n é independente de n, isto é, quando não há dispersão.

Passo 1

Assumindo que nós podemos derivar termo por termo

∂ u ∂ t = - π a   ∑ n = 1 ∞ c n n L s e n n π x L s e n n π a t L

e

∂ u ∂ x = π   ∑ n = 1 ∞ c n n L c o s n π x L c o s n π a t L

Passo 2

Formalmente

∂ u ∂ t 2 = π 2 a 2   ∑ n = 1 ∞ c n n L 2 s e n 2 n π x L s e n 2 n π a t L + π 2 a 2   ∑ n ≠ m ∞ F n m x , t

e

∂ u ∂ x 2 = π 2   ∑ n = 1 ∞ c n n L 2 cos 2 ⁡ n π x L cos 2 ⁡ n π a t L + π 2 ∑ n ≠ m ∞ G n m x , t

Onde F n m ( x , t ) e G n m ( x , t ) contem produtos dos modos naturais e seus derivadas. Baseada na ortogonalidade dos modos naturais

∫ 0 L ∂ u ∂ t 2 d x = π 2 a 2 L 2     ∑ n = 1 ∞ c n n L 2 s e n 2 n π a t L

e

∫ 0 L ∂ u ∂ x 2 d x = π 2 L 2     ∑ n = 1 ∞ c n n L 2 cos 2 ⁡ n π a t L

Passo 3

Lembre que a 2 = T ρ . Isso nos da que

∫ 0 L ρ ∂ u ∂ t 2 + T ∂ u ∂ x 2 d x = π 2 T L 2     ∑ n = 1 ∞ c n n L 2 s e n 2 n π a t L + π 2 T L 2 ∑ n = 1 ∞ c n n L 2 cos 2 ⁡ n π a t L

Com isso

∫ 0 L 1 2 ρ ∂ u ∂ t 2 + 1 2 T ∂ u ∂ x 2 d x = π 2 T 4 L     ∑ n = 1 ∞ n 2 c n 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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