Em cada um dos problemas de 1 a 6, determine (sem resolver o problema) um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dado certamente existe.

t t - 4 y ' + y = 0 , y 2 = 1

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que determinar um intervalo que a solução dada certamente existe.

t t - 4 y ' + y = 0 , y 2 = 1

Para determinar um intervalo no qual a solução do problema de valor inicial (PVI) certamente existe, podemos usar o Teorema de Existência e Unicidade para equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Vamos lá!!!

Passo 2

Dada a EDO genérica:

y ' + p t y = g t ,     y t 0 = y 0

Se p t e g t são contínuas em um intervalo aberto  I  contendo  t 0 ​, então existe uma única solução  y t  definida em  I .

Dessa forma, nesse caso temos:

t t - 4 y ' + y = 0 →   y ' + 1 t t - 4 y = 0

Logo:

p t = 1 t t - 4 ,     g t = 0

g t é contínua em todos os reais, p t é descontinua quando t t - 4 = 0 , ou seja: em t = 0 e t = 4 .

O ponto inicial é  t 0 = 2 . Como  p t  é contínua em intervalos que não contenham  t = 0  ou  t = 4 , o maior intervalo contendo  t 0 = 2  onde  p t  é contínua é:

0 < t < 4

Logo, o intervalo no qual a solução certamente existe é 0,4

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Resposta

0,4

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