Enunciado

Considere

f x =   x 2 + 1   s e   x < 1 x + 1 ,   s e   x ≥ 1

f é derivável em 1? Esboce os gráficos de f   e   f ' .

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos dá:

f x =   x 2 + 1   s e   x < 1 x + 1 ,   s e   x ≥ 1

E pergunta se f ' ( 1 ) existe! Para isso a gente vai calcular a derivada de f ( x ) em x = 1 usando a definição de derivada:

lim h → 0 ⁡ f a + h - f ( a ) h

Só que aqui vamos aproximar h de zero pela direita e pela esquerda. Se os limites laterais forem iguais, então a nossa função é derivável em 1 , caso contrário ela não é!

Bora colocar a mão na massa!

Passo 2

À esquerda de x = 1 temos:

f x = x 2 + 1

Então:

f ' ( x ) = lim h → 0 - ⁡ x + h 2 + 1 - x 2 + 1 h

lim h → 0 - ⁡ x 2 + 2 x h + h 2 + 1 - x 2 + 1 h

lim h → 0 - ⁡ 2 x h + h 2 h = lim h → 0 - ⁡ h 2 x + h h

= lim h → 0 - ⁡ 2 x + h

Calculando:

lim h → 0 - ⁡ 2 x + h = 2 x

Para x = 1 :

f ' 1 - = 2

Agora pela direita de x = 1 :

f x = x + 1

Temos que:

f ' ( x ) = lim h → 0 - ⁡ x + h + 1 - x + 1 h

lim h → 0 - ⁡ h h = 1

Portanto:

f ' 1 + = 1

Como os limites laterais são diferentes, já podemos concluir que a função não é contínua em x = 1 , logo não é diferenciável nesse ponto também.

Passo 3

Vemos isso claramente nos gráficos:

Resposta

f ( x ) não é diferenciável em x = 1 .

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Em que pontos do domínio a função parece ser derivável? contínua, mas não derivável? nem contínua, nem derivável?
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