1. Seja f(x) uma função que satisfaz |f(x)| <= x^2 para -1 < x < 1
  2. Mostre que f(x) é derivável em x = 0 e determine f'(0) .

  3. Mostre que

f x = x 2 ∙   s e n   1 x ,     x ≠ 0 0 ,     x = 0

é derivável em x = 0 e determine f'(0) .

Passo 1

Respondendo o item (a)

Se f 0 < 0 2 , f 0 = 0

d f x d x   =   lim h   →   0 ⁡ f 0 + h - f 0 h

d f x d x   =   lim h  →   0 ⁡ f h h

Como sabemos que - h 2 ≤ f h ≤ h 2

Temos que - h ≤ f h h ≤ h

Assim,

l i m h   →   0 - h ≤ l i m h   →   0 f h h ≤ l i m h   →   0   h

0 ≤ l i m h   →   0 f h h ≤ 0

Pelo teorema do confronto

l i m h   →   0 f h h = 0

Logo, a função é derivável e f ' x = 0

Passo 2

Item (b)

Podemos perceber que a função é definida por partes, mas as funções laterais ao ponto

x   =   0 são iguais, pois é uma função definida para x   ≠   0 . Logo, podemos afirmar que as derivadas laterais são iguais e , portanto, que a função é derivável.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados