Enunciado

  1. Seja f x uma função que satisfaz f x ≤ x 2 para - 1 <   x < 1
  2. Mostre que f ( x ) é derivável em x =   0 e determine f ' ( 0 ) .

  3. Mostre que

f x = x 2 ∙   s e n   1 x ,     x ≠ 0 0 ,     x = 0

é derivável em x   =   0 e determine f ' ( 0 ) .

Passo 1

Respondendo o item (a)

Se f 0 < 0 2 , f 0 = 0

d f x d x   =   lim h   →   0 ⁡ f 0 + h - f 0 h

d f x d x   =   lim h  →   0 ⁡ f h h

Como sabemos que - h 2 ≤ f h ≤ h 2

Temos que - h ≤ f h h ≤ h

Assim,

l i m h   →   0 - h ≤ l i m h   →   0 f h h ≤ l i m h   →   0   h

0 ≤ l i m h   →   0 f h h ≤ 0

Pelo teorema do confronto

l i m h   →   0 f h h = 0

Logo, a função é derivável e f ' x = 0

Passo 2

Item (b)

Podemos perceber que a função é definida por partes, mas as funções laterais ao ponto

x   =   0 são iguais, pois é uma função definida para x   ≠   0 . Logo, podemos afirmar que as derivadas laterais são iguais e , portanto, que a função é derivável.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Nos exercicos de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço gráfico da função; (b) determine se f é continua em x 1 ; (c) calcule f ’ - ( x 1 ) e f ’ + ( x 1 ) , se existirem; (d) determine se f é d
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