Enunciado

Considere:

f x = x 2 ,       s e   x ≤ 2 m x + b   ,   s e   x > 2

Encontre os valores de m e b que tornem f derivável em toda parte.

Passo 1

Vamo que vamo, nesse enunciado temos que descobrir quem é m e b para que a função f ( x ) seja diferenciável dentro de todos os números reais!

f x = x 2 ,       s e   x ≤ 2 m x + b   ,   s e   x > 2

Pra função f ( x ) ser diferenciável, devemos ter:

f ' ( 2 ) = f - ' 2 = f + ' 2

Beleza?! Vamos então calcular essas derivadas!

Para x ≤ 2 temos:

f ' = 2 x

f - ' 2 = 4

Para x > 2 :

f ' = m

f + ' 2 = m

Ou seja:

f ' ( 2 ) = 4 = m

m = 4

Agora temos que descobrir quem é b !

Passo 2

Uma outra condição para que f ( x ) seja derivável em toda parte é que ela seja contínua em toda parte! Para isso devemos ter:

lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = lim x → 2 - ⁡ f ( x )

Ou seja:

lim x → 2 + ⁡ x 2 = lim x → 2 - ⁡ 4 x + b

2 2 = 4 2 + b

b = 4 - 8

b = - 4

Podemos finalmente escrever a função:

f x = x 2 ,       s e   x ≤ 2 4 x - 4   ,   s e   x > 2

Aweee!!

Resposta

m = 4

b = - 4

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