Enunciado

Encontre a parábola com a equação parábola y = a x 2 + b x cuja tangente no ponto ( 1,1 ) tem equação dada por y = 3 x - 2 .

Passo 1

E aíii, tudo bem?! Se liga nessa questãozinha aqui. Temos uma parábola misteriosa do tipo:

y = a x 2 + b x

Cuja a reta tangente no ponto ( 1,1 ) tem a equação:

y = 3 x - 2

Ou seja, dessa vez temos a reta mas não conhecemos a parábola! Ou seja, vamos ter que fazer o processo inverso!

O segredo pra fazer essa questão é ir comendo pelas beiradas!

Passo 2

Vamos, primeiro, substituir o ponto ( 1,1 ) na equação da parábola, pois esse ponto pertence a ela.

y = a 1 2 + b 1 = 1

a + b = 1

a = 1 - b

Passo 3

Agora que a gente consegue relacionar a e b , vamos pegar a equação geral da parábola:

y = a x 2 + b x

E fazer todo o passo a passo para achar a equação da reta tangente no ponto ( 1,1 ) . Vamos derivar y ' pra achar a inclinação da reta tangente. Quando acharmos podemos comparar com a equação da reta tangente que o enunciado nos deu!

Derivando y :

y ' = 2 a x + b

y ' = 2 x 1 - b + b

y ' = 2 x - 2 b x + b

No ponto ( 1,1 ) temos:

y 1 = 2 - 2 b + b

y 1 = 2 - b

Lembrando que a equação da reta tangente é:

y = 3 x - 2

A sua inclinação é igual a 3 , então:

y ' 1 = 3

2 - b = 3

b = - 1

Portanto:

a = 1 - b

a = 1 + 1

a = 2

Assim temos a parábola:

y = 2 x 2 - x

Prontinho! Achamos nossa parábola misteriosa!

Resposta

y = 2 x 2 - x

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Quantas retas tangentes à curva y = x / ( x + 1 ) passam pelo ponto ( 1 ,2 ) ? Em quais pontos essas retas tangentes tocam a curva?