Enunciado

Considere a função f x = t g 1 x

  1. Mostre que f x = 0 para x = 1 π , 1 2 π , 1 3 π , …
  2. Mostre que f x = 1 para x = 4 π , 4 5 π , 4 9 π , …
  3. O que você pode concluir sobre o lim x → 0 + ⁡ tan ⁡ 1 x ?

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:

f x = t g 1 x

Primeiramente queremos mostrar que a função será 0 para os seguintes valores de x :

1 π , 1 2 π , 1 3 π , …

Em seguida, queremos mostrar que a função será 1 para os seguintes valores de x :

4 π , 4 5 π , 4 9 π , …

Para demonstrar essas duas afirmações, deveremos analisar o significado da tangente no que diz respeito ao círculo trigonométrico:

Por fim, deveremos analisar e explicar o seguinte limite:

lim x → 0 + ⁡ tan ⁡ 1 x

Observação: Perceba que as duas demonstrações acima os números se tornam cada vez menores. Por conta disso a questão quer que a gente analisa bem esse limite.

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Para qualquer número n , inteiro e positivo, temos que, se:

x = 1 n π

Então:

f x = t g 1 x = ∴

f x = t g 1 1 n π ∴

f x = t g n π

Sendo assim, para valores inteiros e positivos de n :

t g n π = 0

Isso pode ser explicado na figura abaixo, pois t g n π sempre irá ser um dos dois quadradinhos vermelhos, os quais coincidem com o zero da tangente:

Passo 3

O círculo trigonométrico acima nos ajuda a visualizar que para os valores inteiros positivos de n a tangente é zero.

Agora mostraremos que f x = 1 para x = 4 π , 4 5 π , 4 9 π ,   …

Para qualquer valor inteiro e não negativo de n , a expressão que descreve o incremento no valor de x é:

x = 4 4 n + 1 π

Sendo assim:

f x = tg ⁡ 1 x ∴

f x = tg ⁡ 4 n + 1 π 4 ∴

f x = tg ⁡ 4 n π 4 + π 4 ∴

f x = tg ⁡ n π + π 4

Sendo assim, só estaremos percorrendo a função tangente no círculo trigonométrico no mesmo passo da sua periodicidade ( n π ) , podemos resumir a última expressão a:

tg ⁡ π 4 = 1

Passo 4

O que podemos concluir a respeito de:

lim x → 0 + ⁡ tg ⁡ 1 x

Do passo 1 temos que f x = 0 quando x → 0 .

Do passo 2 temos que f x = 1 quando x → 0 .

Dessa forma, podemos concluir que o limite:

lim x → 0 + ⁡ tg ⁡ 1 x

Não existe, devido a teoria fundamental do limite, uma vez que f ( x ) não se aproxima de um número fixo quando x → 0 + .

É possível verificar o comportamento da função no ponto x → 0 + através do gráfico a seguir para confirmar nossa suposição:

Perceba que é impossível definir o limite quando x → 0 + .

Resposta

Demonstração

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Estabeleça o limite usando a Definição 2.1.1; isto é, para qualquer ϵ 0 , ache umδ 0 tal que se 0x - aδ , então f ( x ) - Lϵ lim x → 3 ⁡ 2 x 2 - x - 6 = 9
Estabeleça o limite usando a Definição 2.1.1; isto é, para qualquer ϵ 0 , ache umδ 0 tal que se 0x - aδ , então f ( x ) - Lϵ lim x → - 1 ⁡ 3 x + 8 = 5
Calcule o limite e, quando aplicável, indique o teorema de limite usado. lim t → 0 ⁡ 9 - t - 3 t
Calcule o limite e, quando aplicável, indique o teorema de limite usado. lim t → 0 ⁡ 1 - 1 + t t
Estabeleça o limite usando a Definição 2.1.1; isto é, para qualquer ϵ 0 , ache umδ 0 tal que se 0x - aδ , então f ( x ) - Lϵ lim x → 1 2 ⁡ x 2 = 1 4