Enunciado

Estabeleça o limite usando a Definição 2.1.1; isto é, para qualquer ϵ >   0 , ache um   δ >   0 tal que se 0 < x - a < δ   , então f ( x ) - L < ϵ

lim x → 3 ⁡ 2 x 2 - x - 6 = 9

Passo 1

A exigência da Definição 2.1.1 é a de que 2 x 2 - x - 6   seja definida para qualquer número de algum intervalo aberto que contenha 3 , mas não necessariamente definida para quando x = 3 . O polinômio 2 x 2 - x - 6 definido para todos os números reais, então podemos usar qualquer intervalo aberto que contenha 3 . Assim agora vamos aplicar a Definição 2.1.1.

Se 0 < x - 3 < δ   , então 2 x 2 - x - 6 - 9 < ϵ

Se 0 < x - 3 < δ   , então x - 3 2 x + 5 < ϵ

Passo 2

Como temos os fatores x - 3 e 2 x + 5 , vamos colocar uma restrição em δ para nos dar uma desigualdade envolvendo 2 x + 5 . Para isso vamos estabelecer um intervalo aberto com as características descritas anteriormente, sendo este 1 ,   5 e isto implica que δ ≤ 1 . Assim podemos deduzir que:

0 < x - 3 < δ e δ ≤ 1

x - 3 < 1

- 1 < x - 3 < 1

2 < x < 4

4 < 2 x < 8

9 < 2 x + 5 < 13

2 x + 5 < 13

Passo 3

Tendo 2 x + 5 < 13 e 0 < x - 3 < δ podemos mostrar que x - 3 2 x + 5 < 13 δ

Primeiro manipulamos 2 x + 5 < 13  

2 x + 5 < 13   δ

2 x + 5 δ < 13 δ

Agora manipulamos 0 < x - 3 < δ

0 < x - 3 < δ 2 x + 5

0 < x - 3 2 x + 5 < δ 2 x + 5

0 < x - 3 2 x + 5 < δ 2 x + 5 e   2 x + 5 δ < 13 δ temos que x - 3 2 x + 5 < 13 δ

Passo 4

Como queremos achar x - 3 2 x + 5 < ϵ e a afirmativa acima indica que devemos requerer 13 δ ≤   ϵ , isto é δ ≤ ϵ 13 . Assim devemos aplicar duas restrições e δ ≤ 1 e δ ≤ ϵ 13 . E para que ambas sejam satisfeitas devemos tomar δ como o menor dos dois números. Prosseguindo temos

x - 3 2 x + 5 < 13 δ

x - 3 2 x + 5 < 13 ϵ 13 , pois δ ≤ ϵ 13

x - 3 2 x + 5 < ϵ

Demonstramos que tomar δ como o menor dos dois números para 0 < ϵ , a seguinte afirmativa é verdadeira

Se 0 < x - 3 < δ   , então x - 3 2 x + 5 < ϵ

O que prova que lim x → 3 ⁡ 2 x 2 - x - 6 = 9 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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