Enunciado

Explique porque a função é descontínua no número dado a . Desenho o gráfico da função.

f x = 1 x + 2 ,       s e   x ≠ - 2 1 ,       s e   x = - 2

a = - 2

Passo 1

Fala aí. Tudo certinho como você?

Bom, esse exercício da pra gente a função

f x = 1 x + 2 ,       s e   x ≠ - 2 1 ,       s e   x = - 2

E pede pra gente usar a definição de continuidade e as propriedades dos limites para mostrar que essa função é contínua para a = - 2 .

Então o que precisaremos aqui é saber o que torna uma função contínua em um ponto específico e verificar se isso acontece nessa função f ( x ) que temos aí.

E para que a função seja contínua no ponto a regra é essa aqui:

Uma função f é contínua em um número a se

lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a )

Ou seja, aqui temos três condições.

f ( a ) precisar estar definida em a (isto é, a está no domínio de f );

lim x → a ⁡ f ( x ) existe;

lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a ) (o valor do limite é igual ao valor da função no ponto a ).

Se isso estiver acontecendo para a função no ponto dado no enunciado, então ela será contínua. Beleza?

Então, bora ver tudo isso acontecendo!

Passo 2

Nesse exercício iremos analisar a função:

f x = 1 x + 2 ,       s e   x ≠ - 2 1 ,       s e   x = - 2

No ponto:

a = - 2

Então, vamos primeiro ver se a função está definida nesse ponto e qual o seu valor.

Perceba que ela é uma função dada por partes, e na segunda linha temos exatamente seu valor para a = - 2 . Assim:

f - 2 = 1

Então ela está definida e seu valor é igual a 1 .

Show, agora vamos analisar o limite.

Passo 3

Para calcular o limite precisaremos dos limites laterais, já que o denominador irá se aproximar do zero quando x se aproximar de - 2 . O que vai fazer o limite ir para o infinit. Mas não sabemos exatamente o seu sinal.

Então, pela esquerda teremos:

lim x → - 2 - ⁡ f ( x ) = lim x → - 2 - ⁡ 1 x + 2 = 1 - 2 - + 2 = - ∞

Já que o numerador é positivo e o denominador tende a zero por valores negativos.

E, pela direita teremos:

lim x → - 2 + ⁡ f ( x ) = lim x → - 2 + ⁡ 1 x + 2 = 1 - 2 + + 2 = ∞

Já que o numerador é positivo e o denominador tende a zero por valores positivos.

Como os limites laterais são diferentes, podemos afirmar que lim x → - 2 ⁡ f ( x ) não existe.

Eita!!!

Passo 4

Agora devemos confirmar a condição de continuidade da função f ( x ) no pondo a , que diz que:

lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a )

Mas, como vimos no passo 3.

lim x → a ⁡ f x = ∄

Então podemos concluir que f é descontínua no ponto -2.

Passo 5

Podemos verificar o que foi posto através da análise do gráfico da função f a seguir:

Perceba que realmente a função diverge para menos infinito quando x se aproxima de -2 pela esquerda, e pra mais infinito quando x se aproxima de - 2 pela direita. Mostrando a descontinuidade da função nesse ponto.

Resposta

f ( x ) é descontínua em a = - 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Prove que f (x) = root(n)(x) é contínua.
Determine o conjunto dos pontos onde a função dada é contínua. f x = x - x ⟦ ⟧
f (x) = {[[2 x s e x = 1],[1 s e x1]]) é contínua em 1 ? Justifique.
Dê exemplo de uma função definida em R e que seja contínua apenas em - 1 , 0 e 1 .
Determine o conjunto dos pontos onde a função dada é contínua. f x =x ⟦ ⟧ onde x = máx ⁡ n ∈ Z | n ≤ x ⟦ ⟧ á (Função maior inteiro.)