Enunciado

O gráfico de qualquer função quadrática f x = a x 2 + b x + c é uma parábola. Prove que a.

Passo 1

Fala aí, pessoal.

Bom galera, a questão diz pra gente que a função

f x = a x 2 + b x + c

É uma parábola. E ela pede pra gente provar que média das inclinações das retas tangente à parábola nas extremidades de qualquer intervalo [ p , q ] é igual à inclinação da reta tangente no ponto médio desse intervalo.

Traduzindo para o matematiques, ele quer, basicamente, que a gente prove que:

f ' p + q 2 = f ' p + f ' q 2

Então, repara que precisaremos da função e da sua derivada. Assim, faremos:

f x = a x 2 + b x + c

A gente deriva ela facinho com a regra geral e a regra da soma e dá nisso:

f ' x = 2 a x + b

Beleza.

Passo 2

Agora, vamos encontrar as derivada para pontos genéricos que serão os extremos do nosso suposto intervalo, onde x = p e x = q . Assim:

f ' p = 2 a p + b

E:

f ' q = 2 a q + b

Também a derivada para x = p + q 2 :

f ' p + q 2 = 2 a p + q 2 + b

Passo 3

Show de bola, então vamos testar o que o problema quer:

f ' p + q 2 = f ' p + f ' q 2

A ideia aqui é substituir dos dois lados da igualdade e ver se os dois lados realmente são iguais. Ok?

2 a p + q 2 + b = 2 a p + b + ( 2 a q + b ) 2

Fazendo a distributiva e tirando os parênteses, teremos:

a p + a q + b = 2 a p + b + 2 a q + b 2

Ajeitando um pouco mais

a p + a q + b = 2 a p + 2 a q + 2 b 2

E dividindo o lado direito por 2 , ficamos com:

2 a p + 2 a q + 2 b = 2 a p + 2 a q + 2 b

E repara só, o lado esquerdo é igual ao lado direito. Pronto, a gente provou que isso é verdade e agora já podemos ir pra próxima questão.

Resposta

Demonstração

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