12. Considere a função F(x, y) = f(x/y, y/x) . Mostre que

x (\partial F/\partial x) + y (\partial F/\partial v) = 0

Passo 1

Pra começar, vamos escrever nossa função em termos de x e y . Inicialmente, temos o seguinte:

F = f x y , y x .

Mudando para x e y :

a = x y

Derivando em relação a x :

∂ a ∂ x = 1 y

Derivando em relação a y :

∂ a ∂ y = - x y 2

Para o y :

b = y x

Derivando em relação a u :

∂ b ∂ x = - y x 2

Derivando em relação a v :

∂ b ∂ y = 1 x

Passo 2

F = f a , b

Agora vamos encontrar ∂ F ∂ x :

∂ F ∂ x = ∂ f ∂ a ∂ a ∂ x   + ∂ f ∂ b ∂ b ∂ x  

Do Passo 1, temos:

∂ a ∂ x = 1 y   e ∂ b ∂ x = - y x 2

Logo,

∂ F ∂ x = ∂ f ∂ a 1 y       + ∂ f ∂ b - y x 2  

Passo 3

Por fim, vamos encontrar ∂ F ∂ y :

∂ F ∂ y = ∂ f ∂ a ∂ a ∂ y   + ∂ f ∂ b ∂ b ∂ y

Pegando o que achamos no Passo 1:

∂ a ∂ y = - x y 2   e ∂ b ∂ y = 1 x

Substituindo, temos:

∂ F ∂ y = ∂ f ∂ a - x y 2 + ∂ f ∂ b 1 x

Passo 4

Agora vamos verificar o que ele nos disse!

x ∂ F ∂ x + y ∂ F ∂ v

Do Passo 2 e 3, temos:

x ∂ F ∂ x + y ∂ F ∂ v = x ∂ f ∂ a 1 y       + ∂ f ∂ b - y x 2 + y ∂ f ∂ a - x y 2 + ∂ f ∂ b 1 x  

Portanto,

x ∂ F ∂ x + y ∂ F ∂ v = x y   ∂ f ∂ a - y x ∂ f ∂ b - x y ∂ f ∂ a + y x ∂ f ∂ b

Assim,

x ∂ F ∂ x + y ∂ F ∂ v = 0

Num é que era verdade?! 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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