Enunciado

12. Considere a função F (x , y) = f ((x)/(y) , (y)/(x)) . Mostre que

x (del F)/(del x) + y (del F)/(del v) = 0

Passo 1

Pra começar, vamos escrever nossa função em termos de x e y . Inicialmente, temos o seguinte:

F = f ((x)/(y) , (y)/(x)) .

Mudando para x e y :

a = (x)/(y)

Derivando em relação a x :

(del a)/(del x) = (1)/(y)

Derivando em relação a y :

(del a)/(del y) = - (x)/(y^2)

Para o y :

b = (y)/(x)

Derivando em relação a u :

(del b)/(del x) = - (y)/(x^2)

Derivando em relação a v :

(del b)/(del y) = (1)/(x)

Passo 2

F = f (a , b)

Agora vamos encontrar (del F)/(del x) :

(del F)/(del x) = (del f)/(del a) (del a)/(del x) + (del f)/(del b) (del b)/(del x)

Do Passo 1, temos:

(del a)/(del x) = (1)/(y) e (del b)/(del x) = - (y)/(x^2)

Logo,

(del F)/(del x) = (del f)/(del a) ((1)/(y)) + (del f)/(del b) (- (y)/(x^2))

Passo 3

Por fim, vamos encontrar (del F)/(del y) :

(del F)/(del y) = (del f)/(del a) (del a)/(del y) + (del f)/(del b) (del b)/(del y)

Pegando o que achamos no Passo 1:

(del a)/(del y) = - (x)/(y^2) e (del b)/(del y) = (1)/(x)

Substituindo, temos:

(del F)/(del y) = (del f)/(del a) (- (x)/(y^2)) + (del f)/(del b) ((1)/(x))

Passo 4

Agora vamos verificar o que ele nos disse!

x (del F)/(del x) + y (del F)/(del v)

Do Passo 2 e 3, temos:

x (del F)/(del x) + y (del F)/(del v) = x ((del f)/(del a) ((1)/(y)) + (del f)/(del b) (- (y)/(x^2))) + y ((del f)/(del a) (- (x)/(y^2)) + (del f)/(del b) ((1)/(x)))

Portanto,

x (del F)/(del x) + y (del F)/(del v) = (x)/(y) (del f)/(del a) - (y)/(x) (del f)/(del b) - (x)/(y) (del f)/(del a) + (y)/(x) (del f)/(del b)

Assim,

x (del F)/(del x) + y (del F)/(del v) = 0

Num é que era verdade?! 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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