Enunciado

Seja f x , y definida e diferenciável na bola aberta A . Suponha que f verifica em A a relação de Euler

x ∂ f ∂ x x , y + y ∂ f ∂ y x , y = λ f x , y

Prove f é homogênea de grau λ .

(Sugestão. Mostre que g t = f a t , b t t λ é constante.)

Passo 1

Vamos considerar que para cada a , b em A , consideramos a função:

g t = f a t , b t t λ

Derivando a função g t :

g ' t = d d t f a t , b t t λ - λ t λ - 1 f a t , b t t 2 λ

Pela regra da cadeia:

d d t f a t , b t = ∂ f ∂ x a t , b t a + ∂ f ∂ y a t , b t b

Passo 2

Substituindo na equação da derivada de g t :

g ' t = ∂ f ∂ x a + ∂ f ∂ y b t λ - λ t λ - 1 f t 2 λ

g ' t = ∂ f ∂ x a + ∂ f ∂ y b - λ t - 1 f t λ

g ' t = ∂ f ∂ x t a + ∂ f ∂ y t b - λ f t λ + 1

Como g t é uma constante:

g ' t = ∂ f ∂ x t a + ∂ f ∂ y t b - λ f t λ + 1 = 0

∂ f ∂ x t a + ∂ f ∂ y t b - λ f = 0

a t ∂ f ∂ x a t , b t + b t ∂ f ∂ y a t , b t = λ f a t , b t

Assim,

x ∂ f ∂ x x , y + y ∂ f ∂ y x , y = λ f x , y

Fim!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja f x , y diferenciável em R 2 e tal que para todo ( x , y ) ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0 Verifique que a função g u , v dada por f ( x , y ) , onde x = u + v e y = u é tal que ∂ g ∂ u = 0 .. Conclua que
Seja f defninda em R 2 , diferenciável em ( 0,0 ) e tal que f t x , t y = t f ( x , y ) para todo t ∈ R e todo x , y ∈ R 2 . Prove que f é linear, isto é, que existem reais a e b tais que f x , y = a
Expresse d z d t em termos das derivadas parciais de f, sendo z = f x , y ea) x = t 2ey = 3 t .
Seja g t = f 3 t , 2 t 2 - 1 . a) Expresse g ' t em termos das derivadas parciais de f.b) Calcule g ' t admitindo ∂ f ∂ x 0 , - 1 = 1 3 .
Admita que, para todo x , y . x ∂ f ∂ x x , y - y ∂ f ∂ y x , y = 0 . Mostre que g t = f t , 2 t ,t0 , é constante.