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Solucionário completo

Exercícios Resolvidos de Um curso de Cálculo Volume 2 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - 12.1 - 27

Seja f x , y definida e diferenciável na bola aberta A . Suponha que f verifica em A a relação de Euler

x ∂ f ∂ x x , y + y ∂ f ∂ y x , y = λ f x , y

Prove f é homogênea de grau λ .

(Sugestão. Mostre que g t = f a t , b t t λ é constante.)

Passo 1

Vamos considerar que para cada a , b em A , consideramos a função:

g t = f a t , b t t λ

Derivando a função g t :

g ' t = d d t f a t , b t t λ - λ t λ - 1 f a t , b t t 2 λ

Pela regra da cadeia:

d d t f a t , b t = ∂ f ∂ x a t , b t a + ∂ f ∂ y a t , b t b

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Substituindo na equação da derivada de g t :

g ' t = ∂ f ∂ x a + ∂ f ∂ y b t λ - λ t λ - 1 f t 2 λ

g ' t = ∂ f ∂ x a + ∂ f ∂ y b - λ t - 1 f t λ

g ' t = ∂ f ∂ x t a + ∂ f ∂ y t b - λ f t λ + 1

Como g t é uma constante:

g ' t = ∂ f ∂ x t a + ∂ f ∂ y t b - λ f t λ + 1 = 0

∂ f ∂ x t a + ∂ f ∂ y t b - λ f = 0

a t ∂ f ∂ x a t , b t + b t ∂ f ∂ y a t , b t = λ f a t , b t

Assim,

x ∂ f ∂ x x , y + y ∂ f ∂ y x , y = λ f x , y

Fim!!

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