Determine o volume do sólido limitado pelas superfícies z = y , z = 4 - x^2 , z = 0 e y = -4 com z >= 0 .

Passo 1

Beleza, resumindo o enunciado: você quer calcular o volume do sólido limitado pelas superfícies

  • z = y
  • z = 4 - x 2
  • z = 0

E pelo plano lateral y = - 4 com a condição extre z ≥ 0 .

O conteúdo é cálculo de volume via integrais triplas em coordenadas cartesianas. Vamos precisar:

  1. Entender quais são “chão” e “teto” do sólido em função de x , y ;
  2. Projetar a região no plano x y ;
  3. Montar a integral ∫ ∫ ∫ d V e calcular essa integral.

Passo 2

Teoria rápida: para achar volume de um sólido  V  em coordenadas cartesianas, usamos:

V = ∫ ∫ ∫ V d V = ∫ ∫ D ∫ z min ⁡ x , y z max ⁡ x , y d z d A x y

Aqui  D  é a projeção no plano  x y , e  z min ⁡ /   z max ⁡  são as superfícies que limitam a região verticalmente.

Passo 3

Vamos achar D e os limites em z :

  1. O teto é sempre z = 4 - x 2 , más isso só existe se 4 - x 2 ≥ 0 , então:
  2. x ≤ 2

  3. Hás dois candidatos a ser nosso chão:
  4. z = 0

    z = y

    Eles se cruzam em y = 0 .

  • Para y < 0 , z = y fica abaixo de z = 0 , logo o chão é z = 0
  • Para y > 0 , z = y fica acima de z = 0 , logo o chão é z = y
  • Em x , y a região lateral é:
  • - 2 ≤ x ≤ 2

    - 4 ≤ y ≤ 4 - x 2

    Então a projeção é:

    D = x , y : - 2 ≤ x ≤ 2 ,   - 4 ≤ y ≤ y - x 2

    Passo 4

    Agora montamos a integral em duas faixas de y (dividindo em y < 0 e y > 0 ) :

    V = ∫ - 2 2 ∫ - 4 0 ∫ 0 4 - x 2 d z d y   + ∫ 0 4 - x 2 ∫ y 4 - x 2 d z d y d x

    Dentro, para y < 0 :

    ∫ 0 4 - x 2 d z = 4 - x 2

    Para y > 0 :

    ∫ y 4 - x 2 d z = 4 - x 2 - y

    Substituindo:

    V = ∫ - 2 2 ∫ - 4 0 4 - x 2   d y ⏟ A + ∫ 0 4 - x 2 4 - x 2 - y d y ⏟ B   d x

    Passo 5

    Calculando cada parte:

    ∫ - 4 0 4 - x 2 d y = 4 - x 2 0 - - 4 = 4 4 - x 2

    E a B :

    ∫ 0 4 - x 2 4 - x 2 - y d y = 4 - x 2 2 - 1 2 4 - x 2 2

    ∫ 0 4 - x 2 4 - x 2 - y d y = 1 2 4 - x 2 2

    Logo, integrando em x :

    4 4 - x 2 + 1 2 4 - x 2 2 = 24 - 8 x 2 + 1 2 x 4

    E agora, finalmente a ultima integral:

    V = ∫ 2 2 ( 24 - 8 x 2 + 1 2 x 4 ) d x

    V = 24 x - 8 3 x 3 + 1 10 x 5 2 2

    V = 896 15

    E prontinho. 😊

    Resposta

    V = 896 15

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