Enunciado

Determine o volume do sólido limitado pelas superfícies z = y , z = 4 - x 2 , z = 0 e y = - 4 com z ≥ 0 .

Passo 1

Bom galera, a gente tem que encontrar o volume, pra isso a gente tem a formulinha:

V = ∫ ∫ D A   d y d x

Passo 2

Belezinha, vamos então encontrar a região D , pra isso a gente tem as informações que:

z = y

z = 4 - x 2

z = 0

y = - 4

z ≥ 0

Com esse z ≥ 0 a gente consegue encontrar alguns limites, por exemplo:

0 ≥ y

y = - 4

Logo temos:

- 4 ≤ y ≤ 0

E também agora a outra equação:

z = 4 - x 2

→ 0 ≥ 4 - x 2

→ x 2 ≥ 4

Assim temos:

- 2 ≤ x ≤ 2

Passo 3

Show de bolinhas, nossa região é D é delimitada por:

- 2 ≤ x ≤ 2

- 4 ≤ y ≤ 0

E agora a gente descobre a função:

z = 4 - x 2

Chamamos a função de:

f x , y = 4 - x 2

Passo 4

Por fim, a gente só precisa botar o que encontramos na fórmula e integrar duas vezes:

V = ∫ - 4 0 ∫ - 2 2 4 - x 2   d x d y

Integramos a primeira vez:

V = ∫ - 4 0 4 x - x 3 3 - 2 2 d y

Calculando essa parte de dentro temos:

V = ∫ - 4 0 4 2 - 2 3 3 - 4 - 2 - - 2 3 3 d y

= ∫ - 4 0 8 - 8 3 - - 8 + 8 3 d y

= ∫ - 4 0 8 - 8 3 + 8 - 8 3 d y

= ∫ - 4 0 16 - 16 3 d y

Integramos denovo:

V = ∫ - 4 0 16 - 16 3 d y

= 16 y - 16 3 y - 4 0

= 16 0 - 16 3 0 - 16 - 4 - 16 3 - 4

= 0 + 64 - 64 3

= 192 - 64 3 = 128 3

E prontinho. 😊

Resposta

128 3

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Determine o volume do sólido por subtração de dois volumes.O sólido limitado pelos cilindros parbólicos y = 1 - x 2 , y = x 2 - 1 e pelos planos x + y + z = 2 , 2 x + 2 y - z + 10 = 0 .
Determine o volume do sólido dado.Limitado pelos planos z = x , y = x , x + y = 2 e z = 0
Determine o volume do sólido dado.Limitado pelo cilindro y 2 + z 2 = 4 e os planos x = 2 y , x = 0 , z = 0 no primeiro octante.
Use um sistema de computação algébrica para determinar o volume exato do sólido.Entre os paraboloides z = 2 x 2 = y 2 e z = 8 - x 2 - 2 y 2 e dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 .
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x 2 1 - x d y d x