Determine o volume do sólido limitado pelas superfícies , , e com .
Passo 1
Beleza, resumindo o enunciado: você quer calcular o volume do sólido limitado pelas superfícies
E pelo plano lateral com a condição extre .
O conteúdo é cálculo de volume via integrais triplas em coordenadas cartesianas. Vamos precisar:
- Entender quais são “chão” e “teto” do sólido em função de ;
- Projetar a região no plano ;
- Montar a integral e calcular essa integral.
Passo 2
Teoria rápida: para achar volume de um sólido em coordenadas cartesianas, usamos:
Aqui é a projeção no plano , e são as superfícies que limitam a região verticalmente.
Passo 3
Vamos achar e os limites em :
- O teto é sempre , más isso só existe se , então:
- Hás dois candidatos a ser nosso chão:
Eles se cruzam em .
- Para , fica abaixo de , logo o chão é
- Para , fica acima de , logo o chão é
Então a projeção é:
Passo 4
Agora montamos a integral em duas faixas de (dividindo em e :
Dentro, para :
Para :
Substituindo:
Passo 5
Calculando cada parte:
E a :
Logo, integrando em :
E agora, finalmente a ultima integral:
E prontinho. 😊