Enunciado

Considere a função f x = x - 1 + | x - 2 | .

a) Mostre que

f x = { - 2 x + 3   s e   x ≤ 1  

1   s e   1 < x < 2

2 x - 3   s e   x ≥ 2 }

b) Esboce o gráfico de f .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certo? Nessa questão, temos uma função com módulos:

f x = x - 1 + | x - 2 |

Mas quem exatamente é essa função? Bem, pra sabermos, vamos ter que lembrar da definição de módulo, ok? Ela vai ser:

x = { x ,     s e   x ≥ 0   - x ,     s e   x < 0  

Nosso objetivo é Mostrar que

f x = { - 2 x + 3   s e   x ≤ 1  

1   s e   1 < x < 2

2 x - 3   s e   x ≥ 2 }

E Esboçar o gráfico de f .

E aí a gente aplica essa definição pros nossos casos. Partiu?

Passo 2

Pra começar, temos x - 1 . Pela definição de módulo, vamos ter:

x - 1 = { x - 1 ,     s e   x - 1 ≥ 0   - x - 1 ,     s e   x - 1 < 0  

Podemos escrever assim,

x - 1 = { x - 1 ,     s e   x ≥ 1   1 - x ,     s e   x < 1  

Vamos representar essa região graficamente!

Note que no lado esquerdo vale a expressão 1 - x , e no lado direito a expressão x - 1 .

Vamos fazer a mesma coisa para | x - 2 | . Fica assim,

x - 2 = { x - 2 ,     s e   x - 2 ≥ 0   - x - 2 ,     s e   x - 2 < 0  

Podemos escrever assim,

x - 2 = { x - 2 ,     s e   x ≥ 2   2 - x ,     s e   x < 2  

Traçando a região que cada expressão representa ficamos com

Agora vamos juntar as duas representações! Como nossa função é um módulo mais o outro, podemos usar a reta real pra nos ajudar a ver o resultado:

Resumindo o que quis mostrar foi,

E pronto! Tá provado que:

f x = { - 2 x + 3   s e   x ≤ 1  

1   s e   1 < x < 2

2 x - 3   s e   x ≥ 2 }

Passo 3

O gráfico de f então, é composto por três retas (como definida nas regiões do passo anterior).

Para x ≤ 1 , temos

y = - 2 x + 3

Para 1 < x < 2 , temos a reta constante

y = 1

Para x ≤ 2 , teremos

y = 2 x - 3

Logo, seu esboço é:

Resposta

Resposta nos passos

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