Enunciado

Verifique que.

(d)/(d x) [(1)/(36) x (9 x^2 - 2) sqrt(4 - 9 x^2) + (2)/(27) arcsen (3 x)/(2)] = x^2 sqrt(4 - 9 x^2)

Passo 1

Vamos calcular (d)/(d x) [(1)/(36) x (9 x^2 - 2) sqrt(4 - 9 x^2) + (2)/(27) arcsen (3 x)/(2)] , vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função trigonométrica, da função constante, do produto e do polinômio:

(arcsen f (x))^' = (1)/(sqrt(1 - f^2 (x))) * (f (x))^'

(c)^' = 0

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x)

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Passo 2

Vamos aplicar:

y^' = ((1)/(36) x (9 x^2 - 2) sqrt(4 - 9 x^2) + (2)/(27) arcsen (3 x)/(2))^' = ((1)/(36) x (9 x^2 - 2) sqrt(4 - 9 x^2))^' + ((2)/(27) arcsen (3 x)/(2))^' = ((1)/(36) (9 x^3 - 2 x) sqrt(4 - 9 x^2))^' + ((2)/(27) arcsen (3 x)/(2))^'

Vamos resolver a primeira derivada:

((1)/(36) (9 x^3 - 2 x) sqrt(4 - 9 x^2))^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x) = ((1)/(36) (9 x^3 - 2 x))^' (sqrt(4 - 9 x^2)) + (sqrt(4 - 9 x^2))^' ((1)/(36) (9 x^3 - 2 x)) = ((1)/(36) (3 * 9 x^(3 - 1) - 2 x^(1 - 1))) (sqrt(4 - 9 x^2)) + ((1)/(2) (4 - 9 x^2)^((1)/(2) - 1) (4 - 9 x^2)^') ((1)/(36) (9 x^3 - 2 x)) = ((1)/(36) (27 x^2 - 2 x^0)) (sqrt(4 - 9 x^2)) + ((1)/(2) (4 - 9 x^2)^(- (1)/(2)) (0 - 2 * 9 x^(2 - 1))) ((1)/(36) (9 x^3 - 2 x)) = ((1)/(36) (27 x^2 - 2 * 1)) (sqrt(4 - 9 x^2)) + ((- 9 x)/(sqrt(4 - 9 x^2))) ((1)/(36) (9 x^3 - 2 x)) = ((27 x^2 - 2) sqrt(4 - 9 x^2))/(36) + (- 9 x (9 x^3 - 2 x))/(36 sqrt(4 - 9 x^2)) = ((27 x^2 - 2) (4 - 9 x^2) - 9 x (9 x^3 - 2 x))/(36 sqrt(4 - 9 x^2)) = (108 x^2 - 243 x^4 - 8 + 18 x^2 - 81 x^4 + 18 x^2)/(36 sqrt(4 - 9 x^2)) = (144 x^2 - 324 x^4 - 8)/(36 sqrt(4 - 9 x^2)) = (144 x^2 - 324 x^4 - 8)/(36 sqrt(4 - 9 x^2)) = (36 x^2 - 81 x^4 - 2)/(9 sqrt(4 - 9 x^2))

Agora a segunda:

((2)/(27) arcsen (3 x)/(2))^' = (2)/(27) * (1)/(sqrt(1 - ((3 x)/(2))^2)) * ((3 x)/(2))^' = (2)/(27 sqrt(1 - (9 x^2)/(4))) * ((3)/(2) x^(1 - 1)) = (2)/(27 sqrt((4 - 9 x^2)/(4))) * ((3)/(2) x^0) = (2)/((27 sqrt(4 - 9 x^2))/(sqrt(4))) * ((3)/(2) * 1) = (1)/((9 sqrt(4 - 9 x^2))/(2)) = (2)/(9 sqrt(4 - 9 x^2))

Passo 3

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y^' = ((1)/(36) (9 x^3 - 2 x) sqrt(4 - 9 x^2))^' + ((2)/(27) arcsen (3 x)/(2))^' = (36 x^2 - 81 x^4 - 2)/(9 sqrt(4 - 9 x^2)) + (2)/(9 sqrt(4 - 9 x^2)) = (36 x^2 - 81 x^4 - 2 + 2)/(9 sqrt(4 - 9 x^2)) = (4 x^2 - 9 x^4)/(sqrt(4 - 9 x^2)) = ((4 x^2 - 9 x^4)/(sqrt(4 - 9 x^2))) ((sqrt(4 - 9 x^2))/(sqrt(4 - 9 x^2))) = ((4 x^2 - 9 x^4) sqrt(4 - 9 x^2))/((4 - 9 x^2)) = (x^2 (4 - 9 x^2) sqrt(4 - 9 x^2))/((4 - 9 x^2)) = x^2 sqrt(4 - 9 x^2)

Assim:

(d)/(d x) [(1)/(36) x (9 x^2 - 2) sqrt(4 - 9 x^2) + (2)/(27) arcsen (3 x)/(2)] = x^2 sqrt(4 - 9 x^2)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

b) int cos^3 (x) (1 + sqrt(s e n (x))) d x
Calcule ∫ x 1 - x 2 d x
Calculeint (1)/(4 + x^2) d x
Calcule ∫ 1 - 4 x 2 d x
Calculeint (1)/(sqrt(4 + x^2)) d x