Enunciado

5- Considere as funções:

f x = 1 ,       x ≠ 4 - 1 ,       x = 4                       e                     g ( x ) 4 x - 10 ,       x ≠ 4 - 6 ,       x = 4

Em cada parte verifique se a função dada é contínua em x = 0

a) f x

b) g ( x )

c ) - g ( x )

d) f ( x )

e) f x . g ( x )

f) f ( g x )

g) g x - f ( x )

Passo 1

a)Uma função f é contínua em x = a se

lim x → a ⁡ f x = f ( a )

Então para saber se f é contínua em x = 4 basta verificar se:

lim x → 4 ⁡ f x = f ( 4 )

Esse é o raciocínio para todos os outros itens.

f 4 = - 1

lim x → 4 ⁡ f x = 1

Como lim x → 4 ⁡ f x ≠ f ( 4 )

A função não é contínua em x = 4 .

Passo 2

b) g 4 = - 6

lim x → 4 ⁡ 4 x - 10 = 6

Como lim x → 4 ⁡ g x ≠ g ( 4 )

A função não é contínua em x = 4 .

Passo 3

c ) Primeiro, vamos ver o que é a função - g x :

Se

  g ( x ) 4 x - 10 ,       x ≠ 4 - 6 ,       x = 4

Então:

- g ( x ) - 4 x + 10 ,       x ≠ 4 6 ,       x = 4        

Dessa forma,

- g 4 = 6

lim - x → 4 ⁡ 4 x + 10 = - 6

Como lim x → 4 ⁡ - g x ≠ - g ( 4 )

A função não é contínua em x = 4 .

Passo 4

d)Utilizar o módulo significa que a nossa função só terá y ´ s   positivos. Dessa forma,

f ( x ) = 1 ,       x ≠ 4 1 ,       x = 4

f ( 4 ) = 1

lim x → 4 ⁡ f ( x ) = 1

Como lim x → 4 ⁡ f ( x ) = f ( 4 )

A função é contínua em x = 4 .

Passo 5

e)Primeiro, vamos ver o que é f x . g ( x ) :

Quando x ≠ 4 ,   f x =   1   e   g x =   4 x - 10 , sendo assim, f x . g x = 1 . 4 x - 10 = 4 x - 10

Quando x = 4 ,   f x =   - 1   e     g x =   - 6 , sendo assim, f x . g x = - 1 . - 6 = 6

Assim,

f x . g ( x ) 4 x - 10 ,       x ≠ 4 6 ,       x = 4

f ( 4 ) g 4 = 6

lim x → 4 ⁡ 4 x - 10 = 6

Como lim x → 4 ⁡ f x g x = f ( 4 ) g ( 4 )

A função é contínua em x = 4 .

Passo 6

f)Primeiro, vamos ver o que é g ( f x ) :

Quando x ≠ 4 ,   f x =   1   e   g x =   4 x - 10 , sendo assim, g 4 × 1 - 10 = - 6

Quando x = 4 ,   f x =   - 1   e     g x =   - 6 , sendo assim, g - 1 .

Para x = 4 , a nossa função não tem um valor para g ( - 1 ) . O que quer dizer que g ( f x ) não é contínua.

Passo 7

g)Primeiro, vamos ver o que é g x - 6   f x :

Quando x ≠ 4 ,   6 f x =   6   e   g x =   4 x - 10 , sendo assim, g x - 6 f x = 4 x - 10 - 6 = 4 x - 16

Quando x = 4 ,   6 f x =   - 6   e     g x =   - 6 , sendo assim, g x - 6 f x = - 6 - - 6 = 0

Assim,

g x - 6 f ( x ) 4 x - 16 ,       x ≠ 4 0 ,       x = 4

g 4 - 6 f ( 4 ) = 0

lim x → 4 ⁡ 4 x - 16 = 0

Como lim x → 4 ⁡ g x - 6 f ( x ) = g 4 - 6 f ( 4 )

A função é contínua em x = 4 .

Resposta

A função é contínua para as letras d,e,g.

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35-36. Encontre os valores de x (se existirem) nos quais f não é contínua e determine se cada um desses valores é uma descontinuidade removível.36. (a) f x = x 2 - 4 x 3 - 8 (b) f x = 2 x - 3 , x ≤ 2
9-14 Determine onde f é contínua.9- f x = a r c s e n 2 x
9-14 Determine onde f é contínua.11- f x = ln ⁡ a r c t g x x 2 - 9
43-46 Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.43- Suponha que uma função f satisfaça f x + 5 ≤x + 1 Com qualquer número real x . Então lim x → - 1 ⁡ f ( x ) = - 5 .
41-42 (a) Complete a tabela e dê uma estimativa para o limite indicado. (b) Encontre o valor exato do limite.41- f x = s e n x - 5 x 2 - 25 ; lim x → 5 ⁡ f ( x )