Enunciado

Considere a integral de linha ∫ C y 2 - x y d x + k x 2 - 4 x y d y .

a ) Determine a constante k para que esta integral seja independente do caminho.

b ) Calcule o valor da integral de A = 0 ,   0 a B = 1 ,   1 para o valor de k encontrado em a ) .

Passo 1

E aí, galerinha!! Vamos lá com mais um exercício com o Responde Aí!! :D

Antes de tudo, vamos revisar uma ideia rapidinho!

Para que uma a integral seja independente do caminho, isso significa que a curva C deve ser fechada, ou seja, o mesmo ponto de partida deve ser o ponto final. Tendo esse conceito e o Teorema 6.4 do livro DIOMARA - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS - 1 ª ED. (páginas 235 / 236 ) temos que:

∮ F ∙ d r = 0

E:

∂ F 2 ∂ x = ∂ F 1 ∂ y

Passo 2

Dessa forma, a partir da equação original:

∫ C y 2 - x y d x + k x 2 - 4 x y d y

Vemos que ela possui a forma que precisamos:

∫ C F 1 d x + F 2 d y

Então, teremos que:

F 1 = y 2 - x y

E:

F 2 = k x 2 - 4 x y

Então:

∂ F 2 ∂ x = k 2 x - 4 y

E:

∂ F 1 ∂ y = 2 y - x

Passo 3

Logo, fazendo a comparação que desejamos:

k 2 x - 4 y = 2 y - x

Podemos juntar os termos semelhantes do termo à esquerda:

2 k x - 2 y = 2 y - x

E reescrevendo como:

2 k x - 2 y = - 1 x - 2 y

Conseguimos simplificar os termos que são iguais em ambos os lados da equação:

2 k = - 1

Encontrando o valor:

k = - 1 2

Resposta

k = - 1 2

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