Enunciado

Suponha que uma lâmina com densidade f ocupe a região D do plano x y . Calcule a massa total m e as coordenadas x - ; y - do centro de massa de D .

D = x ; y ∈ R 2 - 3 ≤ x ≤ 3 ;   - 3 ≤ y ≤ 9 - x 2         e     f x ; y = y + 3

Passo 1

E aí jovem... Vamos fazer mais uma questãozinha de massa e centro de massa.

Lembrando que para encontrarmos a massa total do sistema, basta integrar a densidade f :

m = ∬ f x ; y d x d y

Esta integral não tem muito segredo, podemos simplesmente substuir os limites em x   e y ; como y depende de x , então vamos ter que resolver y primeiro; repara só:

m = ∫ - 3 3 ∫ - 3 9 - x 2 y + 3 d y d x

Vamos fazer o seguinte:

m = ∫ - 3 3 ∫ - 3 9 - x 2 y d y d x ⏟ I 1 + ∫ - 3 3 ∫ - 3 9 - x 2 3 d y d x ⏟ I 2

Começar pela primeira integral:

I 1 = ∫ - 3 3 y 2 2 d x 9 - x 2 - 3 = ∫ - 3 3 9 - x 2 2 - - 3 2 2 d x

Dando uma ajeitada nisso:

I 1 = 1 2 ∫ - 3 3 - x 2 d x = - 1 2 x 3 3 3 - 3 = - 1 2 3 3 - - 3 3 3

E finalmente:

I 1 = - 1 2 54 3 = - 9

E a segunda integral:

I 2 = ∫ - 3 3 ∫ - 3 9 - x 2 3 d y d x = 3 ∫ - 3 3 y   d x 9 - x 2 - 3 = 3 ∫ - 3 3 9 - x 2 + 3 d x

Vamos ter novamente duas integrais:

I 2 = 3 ∫ - 3 3 9 - x 2 ⏟ I 2 ' d x + 3 ∫ - 3 3 3 d x

Podemos fazer substituição trigonométrica na I 2 ' ; repara só:

Ou seja, vamos fazer as seguintes substituições:

9 - x 2 = 3 sin ⁡ β

E, se x = 3 cos ⁡ β , então d x = - 3 sin ⁡ β d β :

I 2 ' = ∫ 3 sin ⁡ β - 3 sin ⁡ β d β = - 9 ∫ sin 2 ⁡ β   d β

Agora a integral do sin 2 ⁡ β   fica de certa forma fácil porque existe uma formulazinha:

∫ sin 2 ⁡ β d β = β - sin ⁡ β   . cos ⁡ β 2

Com isso, podemos voltar no triângulo e sumir com esse β daí, trocando ele por alguma coisa que tenha x :

sin ⁡ β = 9 - x 2 3         e     cos ⁡ β = x 3

Virj! E o β ?? É só pegar o arc, olha só:

s e cos ⁡ β = x 3         e n t ã o     arccos ⁡ x 3 = β

Sacou a idéia?

Portanto:

I 2 ' = - 9 2 β - sin ⁡ β   . cos ⁡ β = - 9 2 arccos ⁡ x 3 - x 9 - x 2 9 3 - 3

Onde:

arccos ⁡ 1 - arccos ⁡ - 1 = 0 - π = - π

E repare que o segundo termo ali, que mais assusta a gente, vai ser zero. Então teremos:

I 2 ' = 9 π 2

Retomando em I 2 :

I 2 = 3 I 2 ' + 9 ∫ - 3 3 d x

Aquela segunda integralzinha ali ta de graça né?!

I 2 = 3 9 π 2 + 9 6 = 27 2 π + 54

Eta tião.... da onde saiu esse I 2 mesmo?? De algum lugar lá em cima...

m = I 1 + I 2 = - 9 + 54 + 27 2 π

Podemos simplificar:

m = 45 + 27 2 π = 9 2 10 + 3 π

Graças a deus terminamos.... de achar a massa.

Ainda precisamos encontrar as coordenadas do centro de massa...

Passo 2

Vamos começar pelas coordenadas em x :

x c = ∬ x f x ; y d x d y m

Então só precisamos encontrar:

∫ - 3 3 ∫ - 3 9 - x 2 x   y + 3 d y d x

Vamos nessa com foco, força e fé pra não errarmos nada:

∫ - 3 3 ∫ - 3 9 - x 2 x y   d y d x ⏟ I 1 + ∫ - 3 3 ∫ - 3 9 - x 2 3 x   d y d x ⏟ I 2

Mais uma vez, dividindo em duas, com calma e paciência:

I 1 = ∫ - 3 3 x y 2 2 d x 9 - x 2 - 3 = ∫ - 3 3 x 2   9 - x 2 - - 3 2 d x = ∫ - 3 3 x 2 - x 2 d x

E aí aplicando os limites você vai perceber que fizemos tudo isso pra esse rolê dar zero...

Se não ficou claro pra você, vou te mostrar olha só:

I 1 = - 1 2 x 4 4 3 - 3 = - 1 8 3 4 - - 3 4 = 0

Percebeu? Lembra da regrinha né?! Negativo vira positivo quando elevado a expoente par.

Mas calma que ainda falta aquela segunda integral:

I 2 = ∫ - 3 3 ∫ - 3 9 - x 2 3 x   d y d x

Bora:

I 2 = ∫ - 3 3 3 x y   d x 9 - x 2 - 3 = ∫ - 3 3 3 x 9 - x 2 + 3 d x

Crendeuspaitodopoderoso... Calma lá, vamos separar pra enxergar direitinho:

I 2 = 3 ∫ - 3 3 x 9 - x 2 d x ⏟ I 2 ' + 3 ∫ - 3 3 3 x d x

“vamos ter que fazer mais uma substituição trigonométrica??” Felizmente não...

Você lembra de uma propriedade de funções ímpares que diz o seguinte: “Seja f x uma função ímpar, então:

∫ - a a f x d x = 0     "

Ta começando a capitar? Mas como vamos saber se aquele diaxo ali é ímpar??

Então, pela definição de função ímpar temos o seguinte:

f - c = - f ( c )

Vamos testar se isso vale na nossa função:

f x = x 9 - x 2

Vamo colocar x = - 2

f - 2 = - 2 5 → f 2 = 2 5

Ou seja, tamos uma função ímpar; então I 2 ' = 0 .

Nos resta:

I 2 = 9 ∫ - 3 3 x d x = 9 x 2 2 3 - 3 = 9 2 3 2 - - 3 2 = 0

É pra ficar feliz ou triste? Oh god.

A nossa coordenada em x será:

x c = 0

Passo 3

Agora acabou, certo?? Nãããoo...Falta a coordenada em y . É a mesmíssima coisa que acabamos de fazer:

y c = ∬ y f x ; y d x d y m

Ou seja, só precisamos integrar:

∫ - 3 3 ∫ - 3 9 - x 2 y y + 3 d y d x  

Mais uma vez, o melhor jeito é abrir isso daí:

∫ - 3 3 ∫ - 3 9 - x 2 y 2 d y d x ⏟ I 1 + ∫ - 3 3 ∫ - 3 9 - x 2 3 y   d y d x ⏟ I 2

Acho que cê até decorou né?!

I 1 = ∫ - 3 3 y 3 3 d x 9 - x 2 - 3 = 1 3 ∫ - 3 3 [ 9 - x 2 3 2 - - 3 3 ] d x

Jesus cristo, parece que piora cada vez mais:

I 1 = 1 3 ∫ - 3 3 9 - x 2 3 2   d x ⏟ I 1 ' + 27 3 ∫ - 3 3 d x

Dessa vez não temos muita escapatória, teremos que fazer a substituição trigonométrica:

I 1 ' = ∫ - 3 3 9 - x 2 3 2   d x

Mesma ideia do que fizemos no passo 1:

Ou seja, vamos fazer as seguintes substituições:

9 - x 2 = 3 sin ⁡ β

E, se x = 3 cos ⁡ β , então d x = - 3 sin ⁡ β d β :

I 1 ' = ∫ 3 sin ⁡ β 3 ( - 3 sin ⁡ β )   d β

I 1 ' = - 81 ∫ sin 4 ⁡ β   d β

Agora, existem diversas formas de resolver isso, vamos tentar achar o melhor caminho:

Existe uma formulazinha que diz o seguinte:

∫ sin n ⁡ β = - sin n - 1 ⁡ β cos ⁡ β n + n - 1 n ∫ sin n - 2 ⁡ β   d β

É chatinha, mas depois de tentar por vários caminhos percebi que esse é o melhor jeito:

∫ sin 4 ⁡ β = - sin 3 ⁡ β cos ⁡ β 4 + 3 4 ∫ sin 2 ⁡ β   d β

Lembra que tomamos o seguinte:

sin ⁡ β = 9 - x 2 3         e     cos ⁡ β = x 3

E o β ?Lembra que é só pegar o arc?

s e cos ⁡ β = x 3         e n t ã o     arccos ⁡ x 3 = β

Com isso, a resposta do segundo termo ali é a mesma que achamos no passo 1:

∫ sin 2 ⁡ β   d β = β - sin ⁡ β   . cos ⁡ β 2

e

∫ sin 2 ⁡ β   d β = - π 2

Portanto:

∫ sin 4 ⁡ β = - 9 - x 2 3 3 x 3 4 - 3 4 π 2

Aplicando os limites:

I 1 ' = 81 9 - x 2 3 4 x 3 4 + 3 4 π 2 3 - 3

Percebeu que o primeiro termo inteiro ali zera? Ou seja:

I 1 ' = 81 3 8 π = 243 8 π

Pois é! Tá difícil. Mas vamos lá; ta acabando:

I 1 = 1 3 243 8 π + 27 3 ∫ - 3 3 d x

A segunda ali tá de graça:

I 1 = 81 8 π + 9 6 = 81 8 π + 54

E calma, que ainda falta a segunda integral:

I 2 = ∫ - 3 3 ∫ - 3 9 - x 2 3 y   d y d x

Rapidex:

I 2 = 3 ∫ - 3 3 y 2 2 d x 9 - x 2 - 3 = 3 ∫ - 3 3 9 - x 2 2 - - 3 2 2 d x

Teremos:

I 2 = 3 ∫ - 3 3 - x 2 2 d x = - 3 2 x 3 3 3 - 3

E finalmente:

I 2 = - 3 2 54 3 = - 27

Segura só mais um bocado, não é hora de errar agora:

∫ - 3 3 ∫ - 3 9 - x 2 y y + 3 d y d x   = I 1 + I 2 = 81 8 π + 54 - 27

Isso significa que:

∫ - 3 3 ∫ - 3 9 - x 2 y y + 3 d y d x   = 81 8 π + 27

E aí nossa segunda coordenada será:

y c = 81 8 π + 27 9 2 10 + 3 π = 3 ( 3 π + 8 ) 4 3 π + 10

Ufa! É muito provável que tenhamos errado algo; mas o que vale é a intenção. Né?! Hahahaha

Até a próxima!

Resposta

Portanto, encontramos que a massa total do sistema é:

m = 9 2 10 + 3 π

E as coordenadas do Centro de massa serão:

0 ; 3 3 π + 8 4 10 + 3 π

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