Enunciado

Considere novamente a barra do Problema 9. Para t = 5 e x = 20, determine quantos termos são necessários para encontrar a solução correta até três casas decimais. Um modo razoável de fazer isso é encontrar n tal que a inclusão de mais um termo não muda as três primeiras casas decimais de u(20, 5). Repita para t = 20 e t = 80. Chegue a alguma conclusão sobre a velocidade de convergência da série que representa u(x, t).

Passo 1

A partir do problema 9, u ( x , t ) é:

u ( x , t ) = 100 π ∑ n = 1 ∞ 1 - c o s n π n e - n 2 π 2 t 1600 s i n n π x 40

Para t = 5 e x = 20 , temos:

u ( 20,5 ) = 100 π ∑ n = 1 ∞ 1 - c o s n π n e - n 2 π 2 320 s i n n π 8

Similarmente

u ( 20,20 ) = 100 π ∑ n = 1 ∞ 1 - c o s n π n e - n 2 π 2 80 s i n n π 8

e

u ( 20,80 ) = 100 π ∑ n = 1 ∞ 1 - c o s n π n e - n 2 π 2 20 s i n n π 8

Passo 2

Como sugerido no problema, variaremos o número de termos até encontrar o termo que, quando adicionado, não altera as três primeiras casas decimais de u ( 20,5 ) ,   u ( 20,20 ) ,   u ( 20,80 )

Podemos variar os números m, p e q, para descobrir que

Para t=5, n=16, para t=20, n=8, para t=80, n=4

A convergência mínima é mais rápida para t maiores.

Resposta

t=5, n=16, para t=20, n=8, para t=80, n=4

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