Enunciado

33- Considere o polinômio P x = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 onde a0, a1, a2 e a3 são fixos. Seja x 0 um número real dado.

a) Mostre que existem constantes A0, A1, A2 e A3 tais que

P x = A0 + A1 (x - x0) + A2 (x – x0) 2 + A3 (x - x0) 3.

(Sugestão: Faça x = ( x - x 0 ) + x 0).

b)Conclua que

P x = P x o +   P ' x o x - x o +   P " ( x o )   2 ! x - x o 2 + P ´ ´ ´ ( x o ) 3 ! x - x o 3 .

(Dizemos que é o desenvolvimento de Taylor do polinômio P(x) em potências de x - x0).

Passo 1

a)Seja P x = a0 + a1x + a2x2 + a3x3. Vamos usar a sugestão dada no enunciado e escrever x como x - x o + x o . Portanto, temos

  P x =   a0 + a1((x – x0) + x) + a2((x – x0) + x)2 + a3((x – x0) + x)3 = a0 + a1(x – x0) + a1x0 + a2(x – x0)2 + 2 a2(x – x0)x + a2x02 + a3(x – x0) 3 + 3a3(x – x0)2 x0 + 3a3x02(x – x0) + a3x03

Organizando e agrupando os termos iguais, teremos

P x = (a0 + a1 x0 + a2 x02 + a3 x03) + (a1 + 2a2 x0 + 3a3x02) (x – x0) + (a2 + 3a3x0) (x – x0)2 +

+ a3(x – x0)3

Agora, pegue A0 = (a0 + a1 x0 + a2 x02 + a3 x03), A1 = (a1 + 2a2 x0 + 3a3x02) e A2 = (a2 + 3a3x0) e substitua na equação de cima.

Dessa forma, obtemos P x = A0 + A1 (x - x0) + A2 (x – x0) 2 + A3 (x - x0) 3.

Passo 2

b)Seja   P x = A0 + A1 (x - x0) + A2 (x – x0) 2 + A3 (x - x0) 3.

P ' x = A1 + 2A2 (x – x0) + 3A3 (x - x0) 2

Logo,   P ' x o = A 1

P ' ' x = 2A2 + 6A3 (x - x0)

Logo, P " ( x o ) = 2 A 2. E, com isso,   A 2 = P " ( x o ) 2

P ' ' ' x = 6A3

Logo,   P ' ' ' x o = 6 A 3. Portanto, A3 = P ' ' ' ( x o ) 6

Substituindo A1, A2 e A3 na equação dada no enunciado, teremos:

P x = P x o +   P ' x o x - x o + P " ( x o ) 2     x - x o 2 + P ' ' ' ( x o ) 6     x - x o 3 =

= P x o +   P ' x o x - x o + P " ( x o ) 2 !     x - x o 2 + P ' ' ' ( x o ) 3 !     x - x o 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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