Enunciado

Considere o problema

y ' ' + p x y ' + q x y = 0 ,   y 0 = a ,   y 1 = b .

Suponha que y = u + v , em que v é qualquer função duas vezes diferenciável satisfazendo as condições de contorno (mas não necessariamente a equação diferencial). Mostre que u é uma solução do problema

u ' ' + p x u ' + q x u = g x ,   u 0 = 0 ,   u 1 = 0 ,

em que g x = - [ v ' ' + p x v ' + q x v ] e é conhecida, uma vez escolhida v . Assim, a não homogeneidade pode ser transferida das condições de contorno para a equação diferencial. Encontre uma função v para esse problema.

Passo 1

Fazendo y x = u x + v ( x ) , a substituição fica

u ' ' + v ' ' + p x u ' + v ' + q x u + v = u ' ' + p x u ' + q x u + v ' ' + p x v ' + q x v

Como o lado esquerdo da equação dá zero,

u ' ' + p x u ' + q x u = - v ' ' + p x v ' + q x v

Passo 2

Ainde temos que:

u 0 = y 0 - v 0 = 0

u 1 = y 1 - v 1 = 0

A função mais simples entçai será v x = b - a x + a . Neste caso, g x = a - b p x + a - b x q x - a q ( x )

Resposta

v x = b - a x + a

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Na barra do Problema 15, suponha que L = 30 ,q u eα ² = 1 ² e que a distribuição inicial de temperatura é f(x) = 30 – x para 0 Encontre a temperatura u(x, t).Faça o gráfico de u em função de x para di
A extremidade direita de uma barra de comprimento a com condutividade térmica k 1 e área de seção reta A 1 , é juntada à extremidade esquerda de uma barra com condutividade térmica k 2 e área de seção
Sejam ϕ 1 ,ϕ 2 ,...,ϕ n ,... as autofunções normalizadas da equação diferencial (3) sujeita às condições de contorno (2). Se ∑ n = 1 ∞ c n ϕ n x convergir para f ( x ) , em que f ( x )=0 para todo x e
Em cada um dos problemas de 10 a 13, determine se existe algum valor da constante a para o qual o problema tem solução. Encontre a solução para cada um desses valores. y ' ' + 4 π 2 y = a + x , y 0 =
A - Mostre pelo método de variação dos parâmetros, que a solução geral da equação diferencial - y ' ' = f x pode ser escrita na forma y = ϕ x = c 1 + c 2 x - ∫ 0 x ( x - s ) f s d s Em que c 1 e c 2 s