Enunciado

Considere o problema de valor inicial

  y '   =   – 10 y   +   2,5 t 2   +   0,5 t ,   y ( 0 ) =   4 .  

(a) Encontre a solução y   =   ϕ ( t ) .

(b) A análise de estabilidade no texto sugere que, para esse problema, o método de Euler só é estável para h   <   0,2 . Confirme se isto é verdade, aplicando o método de Euler a esse problema para 0   ≤   t   ≤   5 com tamanhos de passos próximos de 0,2 .

(c) Aplique o método de Runge-Kutta a esse problema para 0   ≤   t   ≤   5 com diversos tamanhos de passos. O que você pode concluir sobre a estabilidade desse método?

(d) Aplique o método de Euler inverso a esse problema para 0   ≤   t   ≤   5   com diversos tamanhos de passos. Qual o tamanho de passo necessário para que o erro em t   =   5 seja menor do que 0,01 ?

Passo 1

(a) Precisamos resolver um problema y ' = - 10 y   + 2,5 t ^ 2 + 0,5 t   com a condição inicial y ( 0 ) =   4 . Primeiro, resolva a equação homogênea correspondente y   ' =   -   10 y , teremos que a solução é:

y h = c e - 10 t

Agora encontre a solução específica. É da forma y p = A + B t + C t 2 , uma vez que deve ser uma solução do problema inicial, substituímos pelo problema para encontrar A e B .

y p ' = 10 y p + 2,5 t 2 + 0,05 t

B + 2 C t = - 10 A - 10 B t - 10 C t 2 + 2,5 t 2 + 0,5 t

Se:

A = B = 0

C = 1 4

A solução do ODE inicial é dada como y = y h + y p , portanto, a solução geral é y ( t ) = c - 10 t   +   0,25 t 2 . Mas temos uma condição inicial y ( 0 ) = 4 e podemos determinar c :

y 0 = c = 4

c = 4

A solução será:

y t = 4 e - 10 t + 0,25 t 2

Passo 2

Para a resolução do passo b usaremos as seguintes fórmulas:

x n + 1 = x n + h f n     ; ( 4 )

x n + 1 y n + 1 = x n y n + h f ( t n , x n , y n ) g ( t n , x n , y n )     ; ( 5 )

(b) O método Euler afirma que t n = t 0 = n h e y n   +   1 - y n   +   h . f   ( t n ,   y n ) , em que d y d t =   f   ( t ,   y ) e a condição inicial y ( t 0 ) = y 0 . O primeiro passo pode ser dado por:

t 1 = t 0 + h = 0,1

y 1 = y 0 + 0,1 - 10 y 0 + 2,5 . t 0 2 + 0,5 t 0 = 0

Nós calculamos os passoas até y ( 0,4 ) . Os valores obtidos estão na tabela a seguir.

Passo 3

(c) Para este problema, usaremos:

y n + 1 = y n + h k n 1 + 2 h k n 2 + k n 3 + h k n 4 6  

Podemos ter então :

t 1 = t 0 + h = 0 + 0,1

k n 1 = f t n , y n = h f 0,1 = - 4

k n 2 = f t n + 0,5 h ; y n + 0,5 h k n 1 = h f 0,05 ; 2 = - 2

k n 3 = f ( t n + 0,5 h ; y n + 0,5 h k n 2 = h f 0,05 ; 3 = - 3

k n 4 = f ( t n + h ; y n + h k n 3 = h f 0,1 ; 1 = - 1

y 1 = y 0 + h k n 1 + 2 k n 2 + k n 3 + k n 4 6 = 1,5

Repetimos os passos até encontrar y ( 5 ) :

Resposta

  1. y t = 4 e - 10 t + 0,25 t 2
  2. 6,2500
  3. 6,2501, estável com h = 0,1 .
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