Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 22
Considere o problema de maximizar a função sujeita à restrição .
(a) Tente utilizar multiplicadores de Lagrange para resolver o problema.
(b) dá um valor maior que o obtido na parte (a) ?
(c) Resolva o problema traçando a equação da restrição e diversas curvas de nível de .
(d) Explique por que o método dos multiplicadores de Lagrange falha em resolver o problema.
(e) Qual é o significado de ?
Passo 1
(a) Para usar multiplicadores de Lagrange, devemos ter:
Lembrando que e :
Então ficamos com três equações:
Passo 2
Isolando e nas duas primeiras equações pra jogar na terceira, temos:
Então, segundo esse método, o máximo seria:
Passo 3
(b) Vamos calcular :
Realmente, é um valor maior do que o obtido no item (a) .
Passo 4
(c) Agora vamos traçar a equação da restrição e diversas curvas de nível de :
Então vemos aqui que o máximo da função é:
Passo 5
(d) O problema de usar multiplicadores de Lagrange aqui é que não existe se ou , por causa do denominador das frações, olha só:
Passo 6
(e) Já que , ele deve ser um ponto de mínimo. O gráfico a seguir comprova isso:
Resposta
(a)
(b) Sim
(c)
(d) não existe para ou
(e) Ponto de mínimo