Enunciado

Considere o problema de maximizar a função f x ,   y = 2 x + 3 y sujeita à restrição x + y = 5 .

(a) Tente utilizar multiplicadores de Lagrange para resolver o problema.

(b) f 25 ,   0 dá um valor maior que o obtido na parte (a) ?

(c) Resolva o problema traçando a equação da restrição e diversas curvas de nível de f .

(d) Explique por que o método dos multiplicadores de Lagrange falha em resolver o problema.

(e) Qual é o significado de f 9 ,   4 ?

Passo 1

(a) Para usar multiplicadores de Lagrange, devemos ter:

∇ f = λ ∇ g

Lembrando que f x ,   y = 2 x + 3 y e g x ,   y = x + y :

2 ,   3 = λ 1 2 x , 1 2 y

Então ficamos com três equações:

2 = λ 2 x                     3 = λ 2 y                     x + y = 5

Passo 2

Isolando x e y nas duas primeiras equações pra jogar na terceira, temos:

x = λ 4                     y = λ 6

λ 4 + λ 6 = 5 ⇒ λ = 12

x = 12 4 2 = 9                     y = 12 6 2 = 4

Então, segundo esse método, o máximo seria:

f 9 ,   4 = 2   .   9 + 3   .   4 = 30

Passo 3

(b) Vamos calcular f 25 ,   0 :

f 25 ,   0 = 2   .   25 + 3   .   0 = 50 > 30

Realmente, é um valor maior do que o obtido no item (a) .

Passo 4

(c) Agora vamos traçar a equação da restrição e diversas curvas de nível de f :

Então vemos aqui que o máximo da função é:

f 0 ,   25 = 2   .   0 + 3   .   25 = 75

Passo 5

(d) O problema de usar multiplicadores de Lagrange aqui é que ∇ g não existe se x = 0 ou y = 0 , por causa do denominador das frações, olha só:

∇ g = 1 2 x , 1 2 y

Passo 6

(e) Já que f 9 ,   4 < f 25 ,   0 < f 0 ,   25 , ele deve ser um ponto de mínimo. O gráfico a seguir comprova isso:

Resposta

(a) f 9 ,   4 = 30

(b) Sim

(c) f 0 ,   25 = 75

(d) ∇ g não existe para x = 0 ou y = 0

(e) Ponto de mínimo

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