Enunciado

Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.

E x e r c í c i o   44

44 ) Encontre três números positivos cuja soma é 12 e cuja soma dos quadrados é a menor possível.

Passo 1

Galera, aqui queremos minimizar a função f x ,   y ,   z = x 2 + y 2 + z 2 restrita a g x ,   y ,   z = x + y + z = 12 . Então, para usar multiplicadores de Lagrange, devemos ter:

∇ f = λ ∇ g

2 x ,   2 y ,   2 z = λ 1 ,   1 ,   1

Então ficamos com quatro equações:

2 x = λ                     2 y = λ                     2 z = λ                     x + y + z = 12

Passo 2

Igualando o λ de cada equação, temos:

λ = 2 x = 2 y = 2 z ⇒ x = y = z

Usando essa informação na última equação, obtemos:

x + x + x = 12

3 x = 12

x = y = z = 4

Resposta

Os três números são iguais a 4 .

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(a) Determine o valor máximo de f x 1 ,x 2 ,… ,x n = x 1 x 2 … x n n dado que x 1 ,x 2 ,… ,x n são números positivos e x 1 + x 2 + … + x n = c , onde c é uma constante.(b) Deduza da parte (a) que, se
(a) Se seu sistema de computação algébrica traça o gráfico de curvas definidas implicitamente, use-o para estimar os valores mínimo e máximo de f x ,y = x 3 + y 3 + 3 x y sujeita a x - 3 2 + y - 3 2 =
O plano 4 x - 3 y + 8 z = 5 intercepta o cone z 2 = x 2 + y 2 em uma elipse.(a) Faça os gráficos do cone, do plano e da elipse.(b) Use os multiplicadores de Lagrange para achar os pontos mais alto e m
(a) Maximize ∑ i = 1 n x i y i sujeita às restrições ∑ i = 1 n x i 2 = 1 e ∑ i = 1 n y i 2 = 1 .(b) Tome x i = a i ∑ a j 2 e y i = b i ∑ b j 2 e mostre que ∑ a i b i ≤ ∑ a j 2 ∑ b j 2 para quaisquer n
44. Ache os valores de máximo e mínimo da função f sujeita às restrições dadas. Utilize um sistema de computação algébrica para resolver o sistema de equações provenientes do uso de multiplicadores de