Enunciado

Considere o problema de valor inicial

y ' ' + 2 y ' + 6 u = 0 ,       y 0 = 2 ,       y ' 0 = α ≥ 0

  1. Encontre a solução de y ( t ) deste problema.
  2. Encontre α tal qye y = 0 quando t = 1 .
  3. Encontre o menor valor positivo de t , em função de α , para o qual y = 0 .
  4. Determine o limite da expressão encontrada no item (c) quando α → ∞ .

Passo 1

O começo da nossa seção 3.3, temos uma equação geral dada por a y ' ' + b y ' + c y = 0 , onde a , b e c são números reais. Supondo como solução y = e r t , é possível descrever a nossa solução geral.

Passo 2

(a) Usando a ideia do passo 1, temos que

y ' ' + 2 y ' + 6 y = r 2 e r t + 2 r e r t + 6 e r t = 0

Na qual temos que u ' ' = r 2 e r t e u ' = r e r t .

Assim temos nossa equação característica dada por

r 2 + 2 r + 6 = 0

Agora só precisamos resolver nossa equação de segundo grau. Lembra de Baskara? Tem gente que acha que não serve pra nada hahaha. Resolvendo nossa equação chegamos em

r = - 1 ± 5 i

Tendo como solução

u ( t ) = e - t c 1 e 5 i t + c 2 e - 5 i t

Ou

u t = e - t C 1 cos ⁡ 5 t + C 2 sin ⁡ 5 t

Passo 3

Uma vez que encontramos a nossa solução, podemos agora resolver nosso problema de valor inicial. Assim teremos que

u 0 = C 1 = 2

E tomando a derivada

u ' t = - e - t   C 1 cos ⁡ 5 t + C 2 sin ⁡ 5 t + e - t 5 - C 1 sin ⁡ 5 t + C 2 cos ⁡ 5 t

Onde em u ' 0 = α , ou seja

u ' 0 = - 2 + C 2 ⋅ 0 + 5 - 2 ⋅ 0 + C 2 = α

- 2 + 5 C 2 = α → C 2 = α + 2 5

Desta forma nossa solução geral se torna

y ( t ) = e - t 2 cos ⁡ 5 t + α + 2 5   sin ⁡ 5 t

Passo 4

(b) Agora queremos saber quanto vale α quando y 1 = 0

y 1 = e - 1 2 cos ⁡ 5 + α + 2 5 sin ⁡ 5 = 0

Ou seja

α + 2 5 sin ⁡ 5 = - 2 cos ⁡ 5

Isolando α temos

α = - 2 5 cot ⁡ 5 - 2 = 1.50878

Passo 5

(c) Queremos o menor valor positivo de t , em função de α , para o qual y = 0 .

y t = e - t 2 cos ⁡ 5 t + α + 2 5   sin ⁡ 5 t = 0

Implica em

2 cos ⁡ 5 t + α + 2 5   sin ⁡ 5 t = 0

Que implica

- 2 5 α + 2 = tan ⁡ 5 t → t = 1 5 tan - 1 ⁡ - 2 5 α + 2 = 1 5 π - tan - 1 ⁡ 2 5 α + 2

Passo 6

(d) Agora temos que analisar o limite de α → ∞

lim α → ∞ ⁡ 1 5 π - tan - 1 ⁡ 2 5 α + 2

Quando α → ∞ temos que o termo dentro do arctan tende a zero. Assim temos que pelo arco trigonométrico lim x → 0 ⁡ tan - 1 ⁡ x → 0 , implicando então que

lim α → ∞ ⁡ 1 5 π - tan - 1 ⁡ 2 5 α + 2 = π 5

Resposta

  1. y ( t ) = e - t 2 cos ⁡ 5 t + α + 2 5   sin ⁡ 5 t
  2. 1.50878
  3. t = 1 5 π - tan - 1 ⁡ 2 5 α + 2
  4. π / 5

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