Enunciado

Considere o problema de valor inicial

y ' - 3 2 y = 3 t + 2 e t ,     y 0 = y 0

Encontre o valor de y 0 que separa as soluções que crescem positivamente quanto t → ∞ das que crescem em módulo, mas permanecem negativas. Como a solução que corresponde a esse valor crítico de y 0 se comporta quando t → ∞ ?

Passo 1

Para resolvermos esse problema iremos analisar o tipo de EDO que temos para resolver o problema de valor inicial usando fator integrante, onde

μ t = e ∫ p t d t

e a solução sendo dada por

y = 1 μ t ⋅ ∫ 0 t μ s ⋅ g s d s + C

Vamos resolver!!

Passo 2

Analisando nossa EDO, temos que p t = - 3 2 e g t = 3 t + 2 e t . Assim, substituindo na nossa equação do fator integrante, temos que:

μ t = e ∫ - 3 2 d t = e - 3 2 t

E a nossa solução será

y = - 2 3 t ⋅ ∫ t 0 t - 3 2 ⋅ s ⋅ 3 s + 2 e s ⋅ d s + C = - 2 C 3 t ⋅ ∫ t 0 t - 9 2 ⋅ s 2 ⋅ d s + ∫ t 0 t - 3 2 ⋅ s ⋅ 2 e s ⋅ d s

Usando integração por partes, vamos chegar que

y t = - 2 t - 4 3 - 4 e t + C e 3 t 2

Se aplicarmos a condição de contorno, onde y 0 = a 0 , teremos que

y 0 = y 0 = - 2 ⋅ 0 - 4 3 - 4 ⋅ e 0 + C ⋅ e 0 → C = 16 3 + y 0

Substituindo na equação original, vemos que

y t = - 2 t - 4 3 - 4 e t + 16 3 + y 0 e 3 t 2

Passo 3

Podemos notar que quando t → ∞ , o termo e 3 t 2 vai dominar toda a solução, assim temos que o valor crítico será dado quando esse termo desaparecer, ou seja:

16 3 + y 0 = 0

y 0 - 16 3

Assim, teremos que nossa solução ficará

y t = - 2 t - 4 3 - 4 ⋅ e t

Quando pegamos t → ∞ para essa nova solução, vemos que nosso valor de y → - ∞ , enquanto que na nossa solução anterior y → ∞ . Ou seja, o valor de y 0 separa as soluções negativas das positivas.

Resposta

y 0 = - 16 3 ,     y → - ∞   q u a n d o   t → ∞

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